4.3.2 空间两点间的距离公式教案设计（一等奖）

4.3.2 空间两点间的距离公式

[学习目标] 1．了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程；

2．会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离．

[知识要点] 1．在空间直角坐标系中，给定两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则|P1P2|＝ . 特别地：设点A(x，y，z)，则A点到原点的距离为：|OA|＝ . 2．若点P1(x1，y1,0)，P2(x2，y2,0)，则|P1P2|＝ . 3．若点P1(x1,0,0)，P2(x2,0,0)，则|P1P2|＝ .

[问题情境]

我们已经学***面上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式|AB|＝x1－x22y1－y22.那么空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间距离的公式是怎样的？本节我们就来探讨这个问题．

探究点一

空间中点P与坐标原点的距离公式

问题1

在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)，与坐标原点O的距离分别是什么？

问题2

在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A(x，y,0)，B(0，y，z)，C(x,0，z)，与坐标原点O的距离分别是什么？

问题3

如图，在空间直角坐标系中，设点P(x，y，z)在xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是什么？|PM|，|OM|的值分别是什么？

问题4

基于上述分析，你能求出点P(x，y，z)与坐标原点O的距离公式吗？

探究点二

空间两点间的距离公式

导引

在空间中，设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求点P1、P2之间的距离|P1P2|? 问题1

设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在xOy平面上的射影分别为M，N.那么M，N的坐标是什么？点M、N之间的距离如何表示？

问题2

若直线P1P2垂直于xOy平面，则点P1，P2之间的距离如何？若直线P1P2平行于xOy平面，则点P1、P2之间的距离如何表示？

问题3

若直线P1P2是xOy平面的一条斜线，则点P1，P2的距离如何计算？

知识应用，巩固提高

【例1】如图所示,在长方体

ABCDA1B1C1D1

中,|AB|=6,|AD|=6,|AA1|=4,E,F,G分别是线段AC,CC1,A1D1的中点,求△EFG的周长.

变式训练1

在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1，－3,1)的距离相等．

例2

已知点A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),求|AB|取最小值时A,B两点的坐标,并求此时的|AB|.

变式训练2

求证：以A(10，－1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．

当堂检测，有效落实

1．点P(1，2，3)到原点O的距离是

A.6

2．点P(1,2,2)是空间直角坐标系中的一点，设它关于y轴的对称点为Q，则PQ的长为

(

) A．25

3．点A(1,1,2)与点B(0，－1,3)间的距离为________．

4．若A(4，－7,1)，B(6,2，z)，|AB|＝11，则z＝________.

B．52

C．32

D．23

B.5

(

)

C．2

D.3 课堂小结

空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解．设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12，当P1，P2两点落在坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐标轴上时，则公式转化为数轴上的两点间距离公式.