习题1.2公开课教案

一元二次不等式及其解法的教学设计

一

设计思想

建构主义认为，知识存在“同化”和“顺应”过程，需要经过学习者自身体验.因此，教学设计应注重学生的主体地位，发挥教师组织和引导的主导作用，调动学生的主动性和积极性，使数学教学成为数学活动过程的教学，激发学生学习数学的兴趣. 本节课从实际问题入手，抽象出一元二次不等式模型，结合课件展示，先回忆初中相关知识，进而类比解决引入问题中的一元二次不等式，然后从特殊到一般深入探究.最后，通过学生的合作交流总结解法，再以学生出题学生解答的方式加以巩固，让学生亲自体验自己的成果. 二 教材分析

本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性.一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面的线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用. 三 学情分析

学生在初中已经学习了一元一次不等式（组）和二次函数，对不等式的性质有了初步了解.在解决引入问题中的一元二次不等式x5x0

时，学生可能会转化为不等式组{x50或{x50

求解.这种等价转化法非常好，应给予肯定和鼓励，但不在本节课学习之列. 四 教学目标

1 知识与技能

（1）经历从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的过程；

（2）通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系；

（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图. 2 过程与方法

（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；

（2）发挥学生的主体作用，作好探究性实验；

x02x0

（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性. 3 情感态度与价值观

（1）通过利用二次函数的图象求解一元二次不等式的解集，培养学生数形结合的数学思想；

（2）通过研究函数、方程、不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观. 五 重点与难点

重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形

结合的思想；

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系. 六 教学策略与手段

采用探究与合作相结合的教学方式，进行启发式教学. 七 课前准备

1 学生预习“一元二次不等式及其解法”第一课时的内容（P85至P88的例2）；

2 教师认真备课，做好相关课件. 八 教学过程

本节课的教学框图如下所示：

从实际问题中，建立一元二次不等式模型

1 从实际问题中，建立一元二次不等式模型（T：教师，S：学生）

T：随着网络的发展，上网已经是一种比较常见的休闲方式.大家知道网吧一般是怎样收费的吗？

S：积极回答. T：看来大家对网吧收费行情了解的很全面，但我们不能沉迷于网络游戏，上网更重要的是尝试设计程序框图，归纳解法类比一元一次不等式解法，进行探究从特殊到一般，深入探究运用成果，解决问题

帮助我们获取信息.下面我们来看一道有关网络收费的问题：

某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家因特网服务公司可供选择，公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算）；公司B的收费原则是在用户上网的第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）. 一般来说，一次上网的时间不会超过17小时，所以，不妨假设一次上网时间总小于17小时.那么，一次上网多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？

师生活动：引导学生分析问题中的不等关系，由学生代表叙述观点，其他学生补充，教师板书解题过程，列出不等式x5x0. T：因此这个问题实际就是解不等式x5x0的问题.这一不等式有几个未知数，最高次是多少？

S：只有1个未知数，最高次是2次. T：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2bxc0或ax2bxc0(a0). 注 从比较普遍的“网吧收费”问题讲起，再提出“网络收费”问题，低起点，贴进学生生活，利于激发学生的学习兴趣.既呈现由简单到复杂的数学思想，又进一步加深了学生对“数学源于生活”的认识. 2 类比一元一次不等式解法，进行探究

T: 在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式，以及一次函数的有关知识，那么，这三者之间有什么关系吗？

师生活动：由教师演示几何画板制作的课件（如图1）

引导学生观察P点在抛物线上移动时，随着P的横坐标

的变化，P的纵坐标有什么变化，并得出以下结论：

（1）x轴是一条分界线，一次函数y2x7与x轴的交点是分界点. （2）y0的解即为y2x7在x轴上方的图象对应的x的范围；

图1 y22yy2x7●Px

O3.5xy0的解即为y2x7与x轴交点的横坐标；

y0的解即为y2x7在x轴下方的图象对应的x的范围.

（3）写出2x70(0,0)的解. T：在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系，利用这种联系，我们可以快速准确的求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能否对一元二次不等式x5x0的求解与二次函数联系起来讨论，从而找到其求解方法呢？

师生活动：由教师演示几何画板制作的课件（如图2），不断拖动P点，引导学生完成以下问题：

（1）当x为何值时，y0？

当x为何值时，y0？

当x为何值时，y0？

（2）方程x5x0的解是 ；

不等式x5x0的解集是 ；

2222yyyx25x●Px

O5x图2 不等式x5x0的解集是 （解决了引入问题）. 注 结合几何画板的动态演示，类比初中所学知识，联系学生的最近发展区，利于激发学生的好奇心和探究欲. 3 从特殊到一般，深入探究

T：由一元二次不等式的一般形式可知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2bxc0或ax2bxc0(a0)的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 如何讨论一元二次不等式的解集呢？

3.1 探究一元二次不等式axbxc0或axbxc0(a0)的解集

由教师演示几何画板制作的课件（如图3），上下拖动P点，观察的值以及抛物线与x轴相关位置，引导学生得出一元二次不等式axbxc0或axbxc0(a0)的解集应分为0,0,0三种情况讨论，并组织学生完成以下表格：

2222yax2bx图c(a3 0)yyOx

3.2 讨论一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0(a0)的解集

T：对于二次项系数a是负数的一元二次不等式，又应该如何求解呢？

S1：还是通过相应的二次函数图象来解. T：这位同学说的很好！他抓住了应用“数形结合”思想求一元二次不等式的解集这一本质（用几何画板制作的课件简要演示说明）.还有其他方法吗？

S2：可以先把二次项系数a化为正数，再求解. T：非常好！由于我们对a0这一情况有了较详细的认识，因此把a0这一不熟悉的情况转化为a0这一已知情况，正体现了化未知为已知的数学思想. 注 从特殊到一般，化未知为已知，符合学生思维过程. 4 尝试设计程序框图，归纳解法

T：下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将判断框和处理框中的空格填充完整. 学生活动：

师生活动：用简要的语句来概括求解一元二次不等式的步骤：

（1）化二次项系数a为正数；（2）算；（3）结合图象，写一元二次不等式解集（心中有图）. 注 程序框图的设计，使学生对前面所学知识有了更系统的认识，进一步明确了求解一元二原不等式的解集为 x|___是求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2开始将原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0)=b2-4ac?否方程ax2+bx+c=0没有实数根原不等式的解集为R是x1=x2?否原不等式的解集为

x|___(x1

次不等式的步骤. 5 运用成果，解决问题

T: 让学生出题，由学生解答，引导不同的学生出不同类型的一元二次不等式（3、4个为宜）. S：很活跃，积极参与. 注 以学生出题学生解答，教师在旁引导的形式设计，不仅能让学生充分体验到自己的“劳动成果”，而且能帮助他们更深刻地理解如何求解一元二次不等式. 九 板书设计

3.2.1 一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式的概念多媒体演示区例题2.一元二次不等式的解题步骤

十 作业设计

1 完成课本第90页练习及习题3.2A组第1-4题；

2 思考课本第116页复习参考题A组第3题和B组第1题. 问题研讨：

1 对一些同学提出的用等价转化思想求解一元二次不等式问题，应该解释到什么程度；

2 对二次项系数小于0的一元二次不等式求解问题是否应该详细归纳；

3 一元二次不等式的解集是R或的情况往往容易混淆，应该如何加强.