阅读与思考 笛卡儿与解析几何10分钟试讲教案

课题：

笛卡尔与解析几何

。

解析几何产生的历史背景

1.解析几何产生前的几何学

平面几何、立体几何（欧几里得的《几何原本》）

圆锥曲线论（阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》）

特点：静态的几何，既不把曲线看成是一种动点的轨迹，更

没有给它以一般的表示方法。

解析几何产生的历史背景

2.几何学出现解决问题的乏力状态

解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。从16世纪开始，欧洲资本主义逐渐发展起来，进入一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代。生产实践积累了大量的新经验，并提出了大量的新问题。可是，对于机械、建筑、水利、航海、造船、显微镜和火器制造等领域的许多数学问题，已有的常量数学已无能为力，人们迫切地寻求解决变量问题的新数学方法。

幻灯片5 追溯早期的解析几何思想

1.公元前2000年的巴比伦人已能用数字表示从一点到另一

固定点、线或物体的距离，已有原始坐标的思想。

追溯早期的解析几何思想

2.公元前4世纪，中国战国时代的天文学家绘制恒星方位表

时已利用了坐标法。

追溯早期的解析几何思想

3.公元前200年左右，阿波罗尼奥斯用类似于直角坐标系的轴线研究圆锥曲线，

以圆锥体底面的直径作横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，是解析几何的萌

芽。此外，埃及人、罗马人在测量地形时，希腊人在绘制地图时都使用了坐

标概念。

追溯早期的解析几何思想

4.约1350年，法国数学家奥雷姆提出一种坐标几何：用水平

线上的点表示时间，称为经度；而对应的速度则用纵线表示，

称为纬度。这是从天文、地理坐标向坐标几何学的过渡。

追溯早期的解析几何思想

5.16世纪末，韦达提出了用代数方法解决几何问题的设想。例如，在尺规

图研究中将化圆为方的问题归为二次方程，倍立方和三等分角问题归

为三次方程等。

笛卡尔生平介绍

纸钞和邮票上面正是法国哲学家、数学家、物理学家及作家，

解析几何的创始人勒奈-笛卡尔

笛卡尔生平介绍

勒内·笛卡尔（公元1596年3月31日—公元1650年2月11日），出生于法国

安德尔-卢瓦尔省的图赖讷拉海（现改名为笛卡尔以纪念），逝世于瑞典斯

德哥尔摩，法国著名哲学家、物理学家、数学家、神学家。 笛卡尔对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被

认为是解析几何之父。他与英国哲学家弗兰西斯·培根一同开启了近代西方哲学

的“认识论”转向。

笛卡尔是二元论的代表，留下名言“我思故我在”（或译为“思考是唯一

确定的存在”），提出了“普遍怀疑”的主张，是欧洲近代哲学的奠基人之

一，黑格尔称他为“近代哲学之父”。

笛卡尔生平介绍

他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”

哲学。笛卡尔自成体系，融唯物主义与唯心主义于一体，在哲学史上产生了深

远的影响，同时，他又是一位勇于探索的科学家，他所建立的解析几何在数学史

上具有划时代的意义。

笛卡尔堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为

“近代科学的始祖”。他创立了著名的平面直角坐标系。

笛卡尔与解析几何

在笛卡尔之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。笛卡尔站在

方法论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了

人的想象力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，

不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把代数和几何的优点结合

起来，建立一种“真正的数学”。

笛卡尔与解析几何

笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数

学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种

思想他创立了我们现在称之为的“解析几何学”。

任何问题------数学问题-------代数问题--------方程求解

幻灯片15 笛卡尔与解析几何

笛卡尔与解析几何

笛卡尔用这种新方法解决帕普斯问题时，在平面上以一条直线为基线，

为它规定一个起点，又选定与之相交的另一条直线，它们分别相当于x轴

，原点和y轴，构成一个斜坐标系。那么该平面上任一点的位置都可以用

（x,y）唯一地确定。帕普斯问题就化成了一个含有两个未知数的二次不

定方程。笛卡尔指出，方程的次数与坐标系的选择无关，因此可以根据

方程的次数将曲线分类。

这就在变量思想指导下，把数与形统一起来了，这是数学史上

一项划时代的变革，从此开拓了变量数学的新领域。

解析几何的重大意义

1.改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋势，把相互对立着的“数”与“形”

统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。

2.这种对应关系的建立，不仅标志着函数概念的萌芽，而且标明变数进入

了数学，使数学在思想方法上发生了伟大的转折------由常量数学进入变

量数学的时期。

解析几何的重大意义

正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，

运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微

分和积分也就立刻成为了必要了。”笛卡尔的这些成就，为后来牛

顿、莱布尼兹发现微积分，为一大批数学家的新发现开辟了道路。

解析几何的发展和完善

牛顿对二次和三次曲线理论进行了系统的研究。

欧拉讨论了坐标轴的平移和旋转，对平面曲线作了分类。

拉格朗日把力、速度、加速度“算数化”，发展成“向量”的概念，

成为解析几何的重要工具。

18世纪的前半期，克雷洛和拉盖尔将平面解析几何推广到空间，

建立了空间解析几何。

解析几何的进一步发展

解析几何已经发展得相当完备，但这并不意味着解析几何的活力已经

结束。经典的解析几何在向近代数学的多个方向延伸。例如：

希尔伯特空间几何学（无穷维空间的解析几何）

泛函分析和代数几何，也都是古典解析几何的直接延续。

微分几何的内容在很大程度上吸收了解析几何的成果。

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