3.1直线的倾斜角与斜率（通用）课堂实录【2】

3.1.1直线的倾斜角与斜率

四川省苍溪县城郊中学校 韩星

教学目标

1.掌握直线的倾斜角的概念

2.掌握直线的斜率的概念、理解直线的倾斜角与斜率的关系

3.掌握过两点的直线的斜率公式，并能熟练的应用

教学重点与难点

重点：直线的倾斜角与斜率的概念及计算公式

难点：直线的倾斜角与斜率的关系及斜率公式的应用范围、斜率公式的推导过程

教学过程

一．引入新课

在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾，一次函数的图象有何特点? ［生］一次函数形如y＝kx＋b，它的图象是一条直线. 二．讲授新课

1.直线的倾斜角

在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角，叫做直线l的倾斜角。

教师引导学生练习画出过点P的各种倾斜角的直线。

y

oplxyolyopypxlpxolx

(1) (2) (3)(4)学生容易忽略与x轴平行的直线，补出图（4），问倾斜角在哪儿？

如何规定？

规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0。

直线的倾斜角的取值范围是[0，180）

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这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。

以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

2.直线的斜率

生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）

初中对坡度是如何定义的？

坡度（比）=

升高量

前进量

（即坡角的正切值）

当坡角增大时，坡度如何变化？

当坡角=90与0时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别是什么？

坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。

斜率：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即

ktan(90)

问题1.当为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角上）

y o 

x 180(是锐角)

ktantan(180)tan如：倾斜角120，则斜率k3

问题2.当在[0，180）内变化时，斜率k如何变化？

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yoplxypolyopyxxpolxl0°＜＜90°= 90°90°＜＜180°= 0°k=0k >0k不存在k<0

倾斜角

斜率

3.在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1  x2，30 o

45 o

60 o

90 o

120 o

135 o

150 o

能否用P1

、P2的坐标来表示直线斜率k？

（学生活动）：随意在坐标系下画两点P1

、P2及直线P1

P2，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。

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yP2（x2，y2）Q （x2，y1）yP2（x2，y2）P1（x1，y1）αQ （x2，y1）OyP1（x1，y1）P2（x2，y2）Q （x1，y2）αOxxαP1（x1，y1）OxyP1（x1，y1）Q （x1，y2）P2（x2，y2）αOx解：设直线P1

P2倾斜角为（90）当直线P1

P2方向向上时，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点Q，则点Q为（x2，y1）

（1）当为锐角时，QP1P2，x1x2，y1y2

在RtP1P21P2Q中，tantanQPQP2P1Qy2y1

x2x1（2）当为钝角时，180（设QP，x1x2，y1y2

1P2=） tan=tan(180)tan

在RtP1P2Q中，tanQP2QP1y2y1yy12

x2x1x2x1 tany2y1（可让学生分组推导）

x2x1 同理，当直线P2P1方向向上时，无论为锐角或钝角，也有tany2y1， x2x1即ky2y1

x2x1思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与P1、P2这两点坐标顺序有关系吗？

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2、当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论适用吗？

3、斜率公式使用时应注意什么问题？

三．例题讲解(解析见课件）

例1.下列哪些说法是正确的（ ）

A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大

C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π

D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等

E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等

F 、直线斜率的范围是R G、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。

例2. 已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断 这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

例3.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2和-3的直线 。

四．课堂练习

课本P86

1.

2.

3、

4 五．课堂小结

1、直线的倾斜角

2、直线的斜率

六．课后作业：

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