复习参考题国家优质课一等奖

专题四立体几何中的高考热点问题

考纲原文呈现

1．空间几何体

（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；

（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；

（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；

（4）会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础

上，尺寸、线条等不作严格要求）；

（5）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．

2．点、直线、平面之间的位置关系

（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理；

•公理1

:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；

•公理2:过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；

•公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；

•公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行；

•定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，

那么这两个角相等或互补．

（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空

间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．

理解以下判定定理

•如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行；

•如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行；

•如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直；

•如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．

理解以下性质定理，并能够证明

•如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行；

•如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行；

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•垂直于同一个平面的两条直线平行；

•如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与

另一个平面垂直；

3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．

考情分析与预测

年份

2017年Ⅰ卷

题型

选择题第6题

解答题第18题

2017年Ⅱ卷

选择题第6题

考查角度

平行关系的判断

面面垂直的位置关系，四棱锥的侧面积

由三视图求空间几何体的体积

分值

5 12 5 12 5 5 12 5 5 12 5 5 12 5 5 12 5 5 5 5 12 5 12 5 5 12 5 难度

中等

中等

中等

中等

容易

中等

中等

中等

中等

中等

容易

中等

中等

中等

中等

中等

中等

中等

中等

中等

中等

中等

中等

中等

中等

中等

中等

解答题第18题

直线与平面平行的位置关系、四面体的体积

选择题第9题

圆柱的体积

线线垂直关系的判断

2017年III卷

选择题第10题

解答题第19题

空间直线与直线的位置关系、三棱锥的体积

选择题第7题

2016年Ⅰ卷

选择题第11题

解答题第18题

选择题第4题

2016年Ⅱ卷

选择题第7题

由三视图求空间几何体的表面积

异面直线的所成角

点与直线的位置关系、四面体的体积

正方体外接球的表面积

由三视图求空间几何体的表面积

解答题第19题

空间直线与直线的位置关系、五棱锥的体积

选择题第6题

2015年Ⅱ卷

选择题第10题

解答题第19题

选择题第6题

2015年Ⅰ卷

选择题第11题

选择题第6题

2015年Ⅱ卷

选择题第10题

解答题第19题

2014年Ⅰ卷

选择题第8题

解答题第19题

选择题第6题

2014年Ⅱ卷

选择题第7题

解答题第18题

2013年Ⅰ卷

选择题第11题

由三视图求空间几何体的体积

三棱锥的体积、球的表面积

几何体中的截面问题、几何体的体积

圆锥的体积

由三视图求空间几何体的表面积

由三视图求空间几何体的体积

三棱锥的体积、球的表面积

几何体中的截面问题、几何体的体积

由三视图还原几何体

空间直线与直线的位置关系、棱柱的性质

由三视图求空间几何体的体积

正三棱柱的性质、三棱锥的体积

线面平行的判定定理、点到平面的距离

由三视图求空间几何体的体积

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填空题第15题

球的截面积、球的表面积

5 12 5 5 12 中等

中等

中等

中等

中等

解答题第19题

空间直线与直线的位置关系、三棱柱的体积

2013年Ⅱ卷

选择题第9题

填空题第15题

解答题第18题

空间几何体的三视图

正四棱锥的体积、球的表面积

线面平行的判定定理、三棱锥的体积

命题预测

立体几何是高考考查的重点内容之一，主要考查简单几何体的三视图，柱、锥、台、球的表面积和体积，点、直线与平面位置关系的判断及证明，本部分主要考查学生的空间想象能力、语言表示能力、推理论证能力、运算求解能力，从近几年的高考命题情况分析，预计2018年高考对立体的考查，仍将是空间几何体的三视图及其表面积、体积的计算，异面直线所成角仍可能涉及，且以基础题和中档题为主，考查空间线面平行与垂直关系，解答题一般将线面集中到一个身体中设两个小问，第1小问仍是以证明线面间的平行与垂直关系为主，第2小问仍会以体积计算为主．

热点1 线面位置关系与体积计算

以空间几何体为载体，考查空间平行与垂直关系是高考的热点内容，并常与几何体的体积计算交汇命题，考查学生的空间想象能力、计算与数学推理论证能力，同时突出转化与化归思想方法的考查，试题难度中等．

例1.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，

BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；

(2)求证：C1F∥平面ABE；

[解]

(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，因为BB1⊥底面ABC，AB⊂平面ABC，

所以BB1⊥AB.2分

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又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，

所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，

所以平面ABE⊥平面B1BCC1.4分

(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG. 因为G，F分别是AB，BC的中点，

1所以FG∥AC，且FG＝2AC. 因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，

所以FG∥EC1，且FG＝EC1，6分

所以四边形FGEC1为平行四边形，

所以C1F∥EG. 又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，

所以C1F∥平面ABE.8分

(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，

所以AB＝AC2－BC2＝3，10分

所以三棱锥E-ABC的体积

1113V＝3S△ABC·AA1＝3××3×1×2＝23.12分

对点训练1.如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，BC＝1，且AC⊥BC，点D，E，F分别为AC，AB，A1C1的中点．

(1)求证：A1D⊥平面ABC；

(2)求证：EF∥平面BB1C1C.

热点2

平面图形折叠成空间几何体

先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置

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关系与计算有关的几何量，是近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向．

例2.

如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为AE的中点．现沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列问题：

(1)在线段AB上是否存在一点K，使BC∥平面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；

(2)若平面ADE⊥平面ABCE，求证：平面BDE⊥平面ADE.

[规律方法]

1.解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．

2．在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．

[对点训练2]

(2016·全国卷Ⅱ)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将

△DEF沿EF折到△D′EF的位置．

(1)证明：AC⊥HD′；

5(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝4，OD′＝22，求五棱锥D′-ABCFE的体积．

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课后作业

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求证：DC⊥平面PAC. (2)求证：平面PAB⊥平面PAC.

π12.如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝2，AB＝BC＝2AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图(2)中△A1BE的位置，得到四棱锥A1­BCDE. (1)证明：CD⊥平面A1OC；

(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1­BCDE的体积为362，求a的值．

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