第四章 圆与方程（通用）第二课时教案

本册综合素能检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．下列说法中，正确的是(

) A．棱柱的侧面可以是三角形

B．棱柱的各条棱都相等

C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形

D．正方体和长方体都是特殊的四棱柱

[答案]

B [解析]

根据棱柱的定义来判断．

2．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝(

) A．－3

2B．3

2C．－1

[答案]

C [解析]

tan45°＝kAB＝D．1 y＋3y＋3，即＝1，所以y＝－1. 4－24－23．设E、F分别为四面体ABCD的棱BC、CD的中点，G为DA上的点，则此四面体中与过E、F、G的截面平行的棱最多有(

) A．0条

C．2条

[答案]

C [解析]

显见EF是△BCD的中位线，BD∥EF，

所以BD∥平面EFG，当G为AD中点时，AC∥平面EFG，故最多有2条．

4．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(

) A．π

C．4π

[答案]

B [解析]

设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1. 所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π. 5．若三条直线2x＋y－1＝0，x－y－5＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于(

) B．2π

D．8π

B．1条

D．3条

2A．－

3C．2

[答案]

B 2B．

31D．－

22x＋y－1＝0，x＝2，[解析]

解方程组得

x－y－5＝0，y＝－3.

2代入方程x＋ky＝0得2－3k＝0，所以k＝. 36．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是(

) A．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m∥α，m∥β，则α∥β

[答案]

D [解析]

A中还可能m，n相交或异面，所以A不正确；B、C中还可能α，β相交，所以B、C不正确．很明显D正确．

7．点M、N分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1的中点，用过A、M、N和D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图，则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为(

) B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

A．①、②、③

C．①、③、④

[答案]

B [解析]

由正视图的定义可知：点A、B、B1在后面的投影点分别是点D、C、C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为②，侧视图为③，俯视图为④. 8．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为23时，a等于(

) A．2

C．2－1

[答案]

C B．2－2 D．2＋1 B．②、③、④

D．②、④、③

|a－2＋3||a＋1||a＋1|2232[解析]

圆心C(a,2)到直线l的距离d＝＝，所以()＋()＝4，

2222解得a＝－1－2(舍去)，或a＝2－1. 9．某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积是(

)

33A．

223C．

3[答案]

B [解析]

该几何体是一个正三棱柱和一个三棱锥的组合体，故体积V＝×32133×2×2＝. 4610．(2014·高考数学北京卷) 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(

) A．7

C．5

[答案]

B [解析]

点P在以AB为直径的圆上，因此两圆有公共点，应满足m－1≤

3－02＋4－02≤m＋1，∴4≤m≤6，故选B．

11．(2013·重庆)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(

) A．52－4

C．6－22

[答案]

A [分析]

先求出点P到两圆心的距离的和的最小值，该值减去两圆的半径即所求|PM|＋|PN|的最小值．

[解析]

两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称B．17－1 D．17 B．6 D．4 331×22×＋423133B．

6113D．

6

点C1′(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝52，所以(|PM|＋|PN|)min＝52－(1＋3)＝52－4. 12．(2015·河南名校名师俱乐部高三模拟)过直线y＝2x上一点P作圆M：(x－3)2＋(y4－2)2＝的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y＝2x对称时，则∠APB5等于(

) A．30°

C．60°

[答案]

C [解析]

过圆M的圆心(3,2)向直线y＝2x作垂线，设垂足为N，易知当点P与点N重合|2×3－2|42时，l1与l2关于y＝2x对称，此时，|MP|＝＝，又圆M的半径长为，故sin∠5551MPA＝，则∠MPA＝30°，故∠APB＝60°. 2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是__________ ________. [答案]

10x＋15y－36＝0 [解析]

设方程为2x＋3y＋m＝0，

mm36由已知得－－＝6，故m＝－，

325所以所求直线方程为10x＋15y－36＝0. 14．一个正四棱台，其上、下底面边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为__________ ________. [答案]

1012(cm2) [解析]

由已知可得正四棱台侧面梯形的高为

h＝18－82132－＝12(cm)，

2B．45°

D．90°

1所以S侧＝4××(8＋18)×12＝624(cm2)，

2S上底＝8×8＝64(cm2)，S下底＝18×18＝324(cm2)，

于是表面积为S＝624＋64＋324＝1012(cm2)．

15．(2015·湖北卷)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2. (1)圆C的标准方程为__________ ________；

．．(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为__________ ________.

[答案]

(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2；(2)－1－2 [解析]

设点C的坐标为(x0，y0)，则由圆C与x轴相切于点T(1,0)知，点C的横坐标为1，即x0＝1，半径r＝y0.又因为|AB|＝2，所以12＋12＝y20，即y0＝2＝r，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.令x＝0得：B(0，2＋1)．设圆C在点B处的切线方程为y|k－2＋2＋1|－(2＋1)＝kx，则圆心C到其距离为：d＝＝2，解之得k＝1.即圆C在点k2＋1B处的切线方程为y＝x＋(2＋1)，于是令y＝0可得，x＝－2－1，即圆C在点B处的切线在x轴上的截距为－1－2，故应填(x－1)2＋(y－2)2＝2和－1－2. 16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P在面对角线BC1上运动，则下列四个命题：

①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1. 其中正确命题的序号是__________ ________.

[答案]

①②④

[解析]

①因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面AD1C，所以直线BC1上任一点到平面AD1C的距离都相等，

所以VA－D1PC＝VP－AD1C＝VB－AD1C为定值，正确；

②因为AC∥A1C1，AD1∥BC1，AC∩AD1＝A，A1C1∩BC1＝C1，所以平面ACD1∥平面A1BC1，因为A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，正确；

③假设DP⊥BC1，因为DC⊥BC1，DC∩DP＝D，所以BC1⊥平面DPC，所以BC1⊥CP，因为P是BC1上任一点，所以BC1⊥CP不一定成立，错误；

④因为B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以B1B⊥AC，又AC⊥BD，BD∩B1B＝B，所以AC⊥平面BB1D，所以AC⊥DB1，同理可知AD1⊥DB1，因为AC∩AD1＝A，所以DB1⊥平面ACD1，因为DB1⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，正确．

故填①②④. 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0. (1)求直线l的方程；

(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S. 3x＋4y－2＝0，x＝－2，[解析]

(1)由解得

2x＋y＋2＝0，y＝2.

由于点P的坐标是(－2,2)，且所求直线l与x－2y－1＝0垂直，可设直线l的方程为2x＋y＋C＝0. 把点P的坐标代入得2×(－2)＋2＋C＝0，即C＝2. 所求直线l的方程为2x＋y＋2＝0. (2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是－1、－2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积

1S＝×1×2＝1. 218．(2015·四川卷)(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．

(1)请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)；

(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论；

(3)证明：直线DF⊥平面BEG.

[分析]

本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力．

[解析]

(1)点F，G，H的位置如图所示．

(2)平面BEC∥平面ACH.证明如下：

因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，

又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，

于是BCEH为平行四边形，

所以BE∥CH，

又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，

所以BE∥平面ACH，

同理，BG∥平面ACH，

又BE∩BG＝B，

所以平面BEG∥平面ACH. (3)连接FH，

因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，

因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，

又EG⊥FH，EG∩FH＝O，

所以EG⊥平面BFHD，

又DF⊂平面BFDH，所以DF⊥EG，

同理DF⊥BG，

又EG∩BG＝G，

所以DF⊥平面BEG. 19．(2015·广东省东莞七中高一月考试题) 已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，斜率为1的直线l与圆C交于A、B两点．

(1)化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；

(2)是否存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由；

(3)当直线l平行移动时，求△CAB面积的最大值．

[解析]

(1)(x－1)2＋(y＋2)2＝9.圆心C(1，－2)，r＝3. (2)假设存在直线l，设方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

因此直线AB的圆过圆点O，

所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0. y＝x＋m，2

2x＋y－2x＋4y－4＝0

消去y得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0. Δ＞0得－32－3＜m＜32－3. 由根与系数关系得：

m2＋4m－4x1＋x2＝－(m＋1)，x1x2＝，

2y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2

∴x1x2＋y1y2＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0. 解得m＝1或－4. 直线l方程为y＝x＋1或y＝x－4. (3)设圆心C到直线l：y＝x＋m的距离为d，

|AB|＝29－d2，

1S△CAB＝×29－d2×d＝9d2－d4＝2＝x或y＝x－6. 20．(本小题满分12分)(2012·山东卷)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD．

819932－d2－2≤，此时d＝，l的方程为y4222

(1)求证：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．

[解析]

(1)设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC＝CD知，CO⊥BD，

又已知CE⊥BD，所以BD⊥平面OCE. 所以BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，

所以BE＝DE. (2)取AB中点N，连接MN，DN，

∵M是AE的中点，∴MN∥BE，

∵△ABD是等边三角形，∴DN⊥AB．

由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°＋30°＝90°，即BC⊥AB，

所以ND∥BC，

所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC．

21．(本小题满分12分)矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，Q为AD的中点，将△ABQ、

△CDQ沿BQ、CQ折起，使得AQ、DQ重合，记A、D重合的点为P.

(1)求二面角B－PQ－C的大小；

(2)证明：PQ⊥BC；

(3)求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小．

[解析]

(1)解：在矩形ABCD中，AB⊥AQ，DC⊥DQ，

所以，在折起后，有PB⊥PQ，PC⊥PQ，

所以∠BPC就是所求的二面角的平面角，

因为PB＝PC＝AB＝2，BC＝2，

所以PB2＋PC2＝BC2，即△PBC是直角三角形，

所以∠BPC＝90°. ∴二面角B－PQ－C的大小为90°. (2)证明：由已知可得△BCQ，△BCP都是等腰三角形，取BC中点M，连接PM，QM，

则有PM⊥BC，QM⊥BC，

因为PM∩QM＝M，PM⊂平面PQM，QM⊂平面PQM，

所以BC⊥平面PQM，因为PQ⊂平面PQM，

所以PQ⊥BC．

(3)解：由(2)知BC⊥平面PQM，而BC⊂平面BCQ，

所以平面PQM⊥平面BCQ. 又平面PQM∩平面BCQ＝QM，

所以，作PN⊥QM，有PN⊥平面BCQ，

所以QN是PQ在平面BCQ内的射影，

所以∠PQN就是所求的角．

在等腰△BCQ中，QC＝3，MC＝1，

所以得QM＝2，

在等腰△BCP中，易得PM＝1，

所以△PQM是等腰直角三角形，

于是∠PQN＝∠PQM＝45°. 即直线PQ与平面BCQ所成的角为45°. 22．(2015·湖北卷)如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.

(Ⅰ)求圆C的标准方程；

．．|NA|(Ⅱ)过点A任作一条直线与圆O：x2＋y2＝1相交于M、N两点，下列三个结论：①|NB||MA||NB||MA||NB||MA|＝；②－＝2；③＋＝22. |MB||NA||MB||NA||MB|找出其中正确结论的序号并证明．

[答案]

(Ⅰ)(x－1)2＋(y－2)2＝2；(Ⅱ)①②③

[解析]

(Ⅰ)依题意，设C(1，r)(r为圆的半径)，因为|AB|＝2，所以r＝12＋12＝2，所以圆心C(1，2)，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2. x＝0(Ⅱ)联立方程组，

22x－1＋y－2＝2x＝0x＝0解得或，

y＝2－1y＝2＋1因为B在A的上方，所以A(0，2－1)，B(0，2＋1)．

令直线MN的方程为x＝0，此时M(0，－1)，N(0,1)，

所以|MA|＝2，|MB|＝2＋2，|NA|＝2－2，|NB|＝2 |NA|2－22因为＝＝1－，

|NB|22|MA|2＝＝2－1，

|MB|2＋2|NA||MA|所以＝；

|NB||MB||NB||MA|22所以－＝－＝2＋1－(2－1)＝2，

|NA||MB|2－22＋2|NB||MA|22＋＝＋＝2－1＋2＋1＝22，

|NA||MB|2－22＋2正确结论的序号是①②③.