习题2.1教学设计一等奖

习题2.1 空间点、线、面位置关系教学设计

河南省辉县市第二高级中学：孙利明

一.

教学内容与任务分析:

本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版必修二第二章2.3.2平面与平面垂直的判定。在空间平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点.使学生掌握两个平面互相垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神. 二.

教学目标: 知识与技能

①

体会二面角的概念与度量；

②

归纳两个平面垂直的判定定理；

③

应用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题．

过程与方法

①

通过二面角的概念的探索过程，渗透类比迁移的思想；

②

通过归纳两个平面垂直的判定定理内容，提高学生抽象概括能力；

③

通过运用定理的过程，提高学生类比化归能力，培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想．

情感态度与价值观

直观感知，操作确认数学定理，通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力. 三.

教学重点与难点

教学重点：两个平面垂直的判定定理及应用；

教学难点：二面角角的概念及度量方法，两个平面垂直的判定定理的归纳概括． 四. 学法与教学用具

学法：实物观察，直观感知，操作确认，类比归纳，语言表达.

教学用具：二面角模型 长方体模型 折叠纸，多媒体软硬件设备等.

四. 教学基本流程

从人类生产实践的需要引入二面角的有关概念

↓

构建二面角的的平面角概念

↓

二面角的平面角

↓

探究平面与平面垂直的判定方法

↓

平面与平面垂直的判定定理的应用

↓

课堂梳理

↓

布置作业

六.教学情景设计

环节

教学程序及设计

问题1：直线与直线相交成一定的角，那么平面与平面相交是否也成一定角？

利用课本“修筑水坝、发射人造卫星”两个实例，实际是两个平面相交，它们的相对位置可由两个平面所成的“角”确定.(借助多媒体动态演示) 问题2: 阅读教科书第68页，类比初中所学角的概念（借助多媒体展示角的概念），归纳二面角的概念. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 问题3：举出实际生活中一些二面角的例子. 问题4：如何表示二面角？

设计意图

1.从实际背景出发，增加学生对二面角的感性认识.让学生感受生活中处处有数学,数学用途广泛,增强学数学的兴趣. 2. 概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，对已有知识的归纳总结,设置学生的最近思维发展区，不将书中的定义生硬地教给学生，而是通过自制模具的演示，采用类比的思想将二面角的概念移植过来。

3.让学生在此基础上再举一些平面成角的例子.如教室的门在打开的过程中与墙面成一定的角度；书本翻开的过程中，两张纸面呈一定的角度等. 4.以知识填空的形式呈现，使学生了解二面角的数学符号表述。

1.引导学生用“平面化”的思想来思考问题.

2.捕捉创造适宜于学生领悟的问题情境，让学生动手操作，直观感受数学过程形象而生动的特点，生成知识．

3.让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深化。

4.提高学生数学表达、归纳能力. 二

面

角

的

引

入

和

构

建

探

索

思

考

二

面

角

的

度

量

问题1：我们常说“把门开得大些”，是指哪个角大些，我们应该怎样刻画二面角的大小？让学生回忆定义两条异面直线所成角的做法得到启发，能否用“平面角”来度量“二面角”?

引导学生动手操作------翻开教科书成二面角形状,观察书页底部边沿所成的平面角随着翻动幅度的改变(二面角)而改变的情况. 引导学生进分析书页底部边沿所成的平面角的特点.

一是平面角的顶点在棱上；

二是平面角的两边分别在二面角的两个平面内；

三是两边分别垂直于棱。

问题2:对于确定的二面角而言,满足上述特点的平面角有多少个?请在二面角模型上任意作两个平面角, 平面角的大小与顶点在棱上的位置有无关系? 平面角与顶点在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。

问题3:根据平面角的特点与作法,你能归纳出二面角的平面角的概念吗? 在二面角α―l―β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。



A l

问题4：二面角的平面角所确定的平面和二面角的棱的关系？

注: （1）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。

（2）平面角是直角的二面角叫做直二面角。

O B 

探

究

两

个

平

面

垂

直

的

判

定

定

理

观察：教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数. 问题1：类比线线垂直的定义，如何用二面角的平面角的大小给面面垂直下一个定义？

（用多媒体展示线线垂直的定义）引导学生归纳面面垂直的定义。

两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直. 问题2：在工程建设中，建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直，即若紧贴墙面的铅锤的线，如垂直地面，则确定墙面与地面垂直，否则不垂直。

紧贴墙面的线？这句话的实质意义是什么？（学生讨论，期望回答：即此线在墙所在平面）

由此实际问题如何抽象为数学问题呢？（学生交流讨论，期望回答：若平面过另一平面的垂线，则平面垂直）

引导学生，画出图形。

，每页纸张与桌面是否垂直？为什么？（用判定定理解释）

探究长方体模型中的面面垂直关系

追问（1）如何用判定定理证明长方体的侧面与底1.采用类比迁移的思想归纳面面垂直的定义，提高学生的抽象概括能力和知识迁移能力。

2.教师站在稍稍超前于学生智力发展的边界上通过问题引领，来促成学生形成面面垂直的判定定理。

3.强调本质，注意适度形式化，数学的本质是生动活泼的数学思维活动。通过学生交流讨论，把实际问题抽象成数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达方式。

4.尽可能地揭示出知识生成的全貌，使学生从整体上把握问题的解决方法。

面垂直？

追问（2）在侧面内有多少条线与底面垂直？只需要几条？

追问（3）只局限于在侧面找关根据已有的结论与图形，继续追问。

(1)如何证明上述命题呢？从已学过知识可知，只能从定义出发。 (2)定义的实质是什么呢？即证明两平面垂直的根据是什么？期望回答：即证二面角的平面是直角。

(3)二面角的平面角如何做出呢？关键在哪里？（学生交流）期望回答：已知平面的垂线故此垂线必垂直于两平面的交线，所以关键在于在已知平面做与公共棱垂直的直线。

(4)过已知平面的垂线再作一个面与已知面是否垂直？引导学生再次经历上述探究过程。

归纳生成两个平面垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

问题3：演示开门、关门的过程：门与地面始终垂直吗？为什么？将课本打开，直立放在桌面上键的垂线吗？

问题4：判定面面垂直的本质和关键是什么？

5.用判定定理解释生活中的常见现象，让学生意识到数学来源于生活，服务于生活，也体现了从特殊到一般再到特殊的知识认知过程。

6.促进学生数学思想方法的形成，引导学生确实掌握"降维"的转化与化归的数学思想方法。让学生对教学思想方法，及其应情境达到较为纯熟的认识，并将这种认识思维地贮存在大脑中，随时提取和应用。

过渡题：

D'C'两

个

平

面

垂

直

的

判

定

定

理

应

用

A'DB'CAB

如图,在正方体ABCDA'B'C'D'中

证明:平面ACC'A'⊥平面A'BD。

变式（1）若M是A'C'的中点，平面MBD⊥平面ACC'A'吗？

1.教学中若直接加入例题，又有一部分人不知所措，有时还会失去学好数学信心。若只讲课本例题，大部分人会有“吃不饱”的现象，针对这一现象教学中主要是立足课本例题，抓住重点的同时进行过渡训练，变式训练，由浅入深，为学生提供差异发展的舞台。使学困生巩固基础，中等生开扩思路，优秀生创新思维。

变式（2）若M是A'C'的任一动点，平面MBD⊥平面ACC'A'吗？

例题:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在

的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：

2. 虽然多媒体的使用方便快PAC平面PBC平面

捷，但不能完全代替板书，因此

教师一定要对证明过程进行规

范、完整的板书，引导学生注意

证明过程的规范性和严谨性，帮

助学生养成良好的学习习惯。

证明：设⊙O所在平面为α，

由已知条件，有

PA⊥α，BC在α内，

所以，PA⊥BC，

因为，点C是不同于A，B的任意

一点，AB为⊙O的直径，

所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA

又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条相交直

线，

所以，BC⊥平面PAC，

又因为BC在平面PBC内，

所以，平面PAC⊥平面PBC。

思考1：在四面体PABC中你还能发现哪些面互相

垂直？为什么？

思考2：四面体PABC中四个面的形状怎样？

课本P.69练习

SGGGE,F123如图，正方形中中分别是的

G,G,G123及EF把这个正方形折成一个四面体，使

三点重合，重合后的点记为G，则在四面体SEFG

中必有（ ）

(A)SG⊥△EFG所在平面

（B）SD⊥△EFG所在平面

(C)GF⊥△SEF所在平面

(D)GD⊥△SEF所在平面

SG3

G1G2,G2G3中点D中点是EF的中点，现在沿SE,SFDFG1EG23.通过自制模具的演示，创设问题情境，让学生自己从中自主探索，经历直观感知，操作确认，思维论证的过程。

教师引导学生用折叠纸制作模型，得出答案，指导学生画出直观图，继续追问在四面体SEFG中哪些面相互垂直？

1、知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快转化课

为学生的素质。

堂

我们这节课学习了哪些知识内容？掌握了哪些数2、数学思想方法的总结，学生梳

学思想方法？

更系统，更深刻地理解数学思想理

方法在解题中的地位和作用，并小

且逐渐培养学生的良好个性品结

质。这是每堂课必不可少的一个重要环节。

当堂检测及时反馈

作业设计了基础题与拓展题，因当

材施教，这样既面向总体又照顾堂

当堂检测

学生差异，满足不同学生发展的检

基础题：课本 P.73 习题2.3 A组1,2,3,4. 需要，最终实现全体学生的学习测

拓展题:课本 P.69 例3 在四面体PABC中任意水平在差异状态下的差异发展。布

两个平面所成的二面角的平面角如何确定？

也落实了将新课程倡导的“数学置

教育要面向全体学生，实现人人作

学有价值的数学，人人都能获得业

必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。” 七.

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