习题1.2ppt课件课堂实录

空间立体几何练习题

一．选择题（共10小题）

1．在空间直角坐标系中，点p（3，4，5）关于yOz平面对称的点的坐标为（

）

A．（﹣3，4，5）

B．（﹣3，﹣4，5）

C．（3，﹣4，﹣5）

D．（﹣3，4，﹣5）

2．在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于z轴对称的点的坐标为（

）

A．（﹣3，﹣4，5）

B．（3，﹣4，5）

C．（3，﹣4，﹣5）

D．（﹣3，4，5）

3．已知三角形的三个顶点A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），则过A点的中线长为（

）

A．

B．2

C．11

D．3

4．在空间直角坐标系中，点M（1，2，3）到z轴的距离为（

）

A．

B．3

C．

D．

5．在空间直角坐标系中，点A（1，﹣1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（

）

A．（1，﹣1，﹣1）

B．（﹣1，﹣1，﹣1）

C．（﹣1，﹣1，1）

D．（﹣1，1，﹣1）

6．在空间直角坐标系中，已知A（﹣1，0，3），B（2，﹣1，5），则|AB|＝（

）

A．

B．

C．14

D．

7．已知A（2，5，﹣6），点P在y轴上，|PA|＝7，则点P的坐标是（

）

A．（0，8，0）

C．（0，8，0）或（0，2，0）

B．（0，2，0）

D．（0，﹣8，0）

，则P点的坐标为（

）

8．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，棱长为1，

A．9．如图，棱长为

B．

C．

D．

的正四面体ABCD的三个顶点A，B，C分别在空间直角坐标系的坐标轴Ox，Oy，Oz上，则定点D的坐标为（

）

第1页（共25页）

A．（1，1，1）

B．

C．

D．（2，2，2）

10．已知z轴上一点N到点A（1，0，3）与点B（﹣1，1，﹣2）的距离相等，则点N的坐标为（

）

A．（0，0，﹣）

B．（0，0，﹣）

C．（0，0，）

D．（0，0，）

二．填空题（共5小题）

11．在空间直角坐标系中，若点点B（﹣3，﹣1，4），A（1，2，﹣1），则|AB|＝

．

12．点P（3，﹣2，4）关于点A（0，1，﹣2）的对称点的坐标是

．

13．在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则点A1在平面A1B1D1的射影的坐标为

．

14．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（2，1，3）关于平面xoy的对称点坐标为

．

15．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z）的坐标满足方程（x﹣2）+（y+1）+（z﹣3）＝1，则点P的轨迹是

．

三．解答题（共13小题）

16．已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为5点的坐标．

第2页（共25页）

222，侧棱长为13，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶

17．如图所示，在底面是菱形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面的边长为a，且有一个角为120°，侧棱长为2a，在空间直角坐标系中确定点A1，D，C的坐标．

18．四棱锥S﹣ABCD中，底面边长为2，侧棱长为3，E是侧棱SC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试求点A、C、E的坐标．

19．已知点A（0，1，0）、B（﹣1，0，﹣1）、C（2，1，1），若点P（x，0，z）满足PA⊥AB，PA⊥AC，试求点P的坐标．

20．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD＝BC＝1，DC＝2AB＝2PD，∠ADC＝60°，PD⊥底面ABCD，试建立空间直角坐标系，并表示五个点的坐标．

第3页（共25页）

21．如图，设P、Q是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心，

证明：（1）PQ∥平面AA1B1B；

（2）面D1PQ∥面C1DB．

22．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD．

（1）求证：AB∥平面SCD；

（2）求证：BD⊥SC．

23．如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1（用几何法和向量法各做一次解答）

第4页（共25页）

24．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E、F分别是AB、B1C1的中点．

（1）求证：直线EF∥平面ACC1A1；

（2）求直线BC1与平面ACC1A1所成角的余弦值．

25．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°．

（1）求证：平面PAC⊥平面PAB；

（2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：BC∥l．

26．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、H为棱AD、AB、AA1的中点．

（1）求证：平面HEF∥平面CB1D1．

（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

第5页（共25页）

27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．

（1）求证：DC⊥平面PAC；

（2）求证：平面PAB⊥平面PAC．

28．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AC的中点．

（1）求证：A1E∥平面B1CD1；

（2）求证：平面B1CD1⊥平面AA1C1C．

第6页（共25页）

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．在空间直角坐标系中，点p（3，4，5）关于yOz平面对称的点的坐标为（

）

A．（﹣3，4，5）

B．（﹣3，﹣4，5）

C．（3，﹣4，﹣5）

D．（﹣3，4，﹣5）

【分析】在空间直角坐标系中，点（a，b，c）关于yOz平面对称的点的坐标为（﹣a，b，b）．

【解答】解：在空间直角坐标系中，

点p（3，4，5）关于yOz平面对称的点的坐标为（﹣3，4，5）．

故选：A．

【点评】本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于z轴对称的点的坐标为（

）

A．（﹣3，﹣4，5）

B．（3，﹣4，5）

C．（3，﹣4，﹣5）

D．（﹣3，4，5）

【分析】在空间直角坐标系中，点P（a，b，c）关于z轴对称的点的坐标为（﹣a，﹣b，c）．

【解答】解：在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于z轴对称的点的坐标为：（﹣3，﹣4，5）．

故选：A．

【点评】本题考查空间中点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3．已知三角形的三个顶点A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），则过A点的中线长为（

）

A．

B．2

C．11

D．3

【分析】先求出BC的中点为（4，1，﹣2），由此能求出过A点的中线长．

【解答】解：三角形的三个顶点A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），

BC的中点为（4，1，﹣2），

∴过A点的中线长为：

＝2故选：B．

【点评】本题考查三角形中线长的求法，考查中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4．在空间直角坐标系中，点M（1，2，3）到z轴的距离为（

）

第7页（共25页）

．

A．

B．3

C．

D．．

【分析】空间直角坐标系中点M（x，y，z）到z轴的距离为【解答】解：空间直角坐标系中，点M（1，2，3）到z轴的距离为故选：A．

＝．

【点评】本题考查了空间直角坐标系下的距离计算问题，是基础题．

5．在空间直角坐标系中，点A（1，﹣1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（

）

A．（1，﹣1，﹣1）

B．（﹣1，﹣1，﹣1）

C．（﹣1，﹣1，1）

D．（﹣1，1，﹣1）

【分析】根据空间坐标的对称性进行求解即可．

【解答】解：空间坐标关于原点对称，则所有坐标都为原坐标的相反数，

即点A（1，﹣1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（﹣1，1，﹣1），

故选：D．

【点评】本题主要考查空间坐标对称的计算，结合空间坐标的对称性是解决本题的关键．比较基础．

6．在空间直角坐标系中，已知A（﹣1，0，3），B（2，﹣1，5），则|AB|＝（

）

A．

B．

C．14

D．

【分析】利用两点间距离公式直接求解．

【解答】解：在空间直角坐标系中，

∵A（﹣1，0，3），B（2，﹣1，5），

∴|AB|＝故选：B．

【点评】本题考查两点间距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．

7．已知A（2，5，﹣6），点P在y轴上，|PA|＝7，则点P的坐标是（

）

A．（0，8，0）

C．（0，8，0）或（0，2，0）

B．（0，2，0）

D．（0，﹣8，0）

＝．

【分析】设出P的坐标，利用两点距离公式，求出P的坐标．

【解答】解：由题意设P（0，y，0），

因为|PA|＝7，

所以＝7，

第8页（共25页）

所以y＝2或y＝8，

所以点P的坐标为：（0，2，0）或（0，8，0）．

故选：C．

【点评】本题考查空间两点间距离公式的应用，考查计算能力．

8．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，棱长为1，，则P点的坐标为（

）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据题意，设出点P（x，y，z），结合题意利用坐标表示列出方程组，求出解即可．

【解答】解：如图所示，

设点P（x，y，z），且点B（1，1，0），B′（1，1，1），D′（0，0，1）；

∵点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD′，∴x＝y①，

又PB＝BD′，∴＝，解得：z＝，

＝，解得：x＝，

故P（，，），

故选：D．

【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题目．

9．如图，棱长为

的正四面体ABCD的三个顶点A，B，C分别在空间直角坐标系的坐标轴Ox，Oy，Oz第9页（共25页）

上，则定点D的坐标为（

）

A．（1，1，1）

B．

C．

D．（2，2，2）

【分析】将正四面体ABCD放入正方体中，画出图形结合图形，即可求出点D的坐标．

【解答】解：

将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，

由已知AB＝BC＝AC＝所以OA＝OB＝OC＝1，

所以点D的坐标为（1，1，1）．

故选：A．

，

【点评】本题考查了空间位置关系的应用问题，是基础题．

10．已知z轴上一点N到点A（1，0，3）与点B（﹣1，1，﹣2）的距离相等，则点N的坐标为（

）

A．（0，0，﹣）

B．（0，0，﹣）

C．（0，0，）

D．（0，0，）

【分析】根据点N在z轴上，设出点N的坐标，再根据N到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AN，BN，解方程即可求得N的坐标．

【解答】解：设N（0，0，z）

由点N到点A（1，0，3）与点B（﹣1，1，﹣2）的距离相等，得：

1+0+（z﹣3）＝（﹣1﹣0）+（1﹣0）+（﹣2﹣z）

第10页（共25页）

222222

解得z＝，故N（0，0，）

故选：D．

【点评】考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．

二．填空题（共5小题）

11．在空间直角坐标系中，若点点B（﹣3，﹣1，4），A（1，2，﹣1），则|AB|＝

5【分析】根据空间直角坐标系中两点间的距离公式求出|AB|．

【解答】解：空间直角坐标系中，点B（﹣3，﹣1，4），A（1，2，﹣1），

则|AB|＝故答案为：5．

＝5 ．

．

【点评】本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式应用问题，是基础题．

12．点P（3，﹣2，4）关于点A（0，1，﹣2）的对称点的坐标是

（﹣3，4，﹣8）

．

【分析】设点P（3，﹣2，4）关于点A（0，1，﹣2）的对称点的坐标为（a，b，c），由中点坐标公式列出方程组，能求出结果．

【解答】解：设点P（3，﹣2，4）关于点A（0，1，﹣2）的对称点的坐标为（a，b，c），

则由中点坐标公式得：

，解得a＝﹣3，b＝4，c＝﹣8，

∴点P（3，﹣2，4）关于点A（0，1，﹣2）的对称点的坐标是（﹣3，4，﹣8）．

故答案为：（﹣3，4，﹣8）．

【点评】本题考查与已知点关于另一个点对称的点眯的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．

13．在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则点A1在平面A1B1D1的射影的坐标为

（1，0，2）

．

第11页（共25页）

【分析】平面内一点在这个平面中的射影是这个点本身．

【解答】解：在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则点A1在平面A1B1D1的射影的坐标为A1（1，0，2）．

故答案为：（1，0，2）．

【点评】本题考查空间中点的坐标的求法，考查空间直角坐标系、射影等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

14．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（2，1，3）关于平面xoy的对称点坐标为

（2，1，﹣3）

．

【分析】直接根据关于谁对称谁不变这一结论直接写结论即可．

【解答】解：由题意可得：点P（2，1，3）关于xoy平面的对称点的坐标是（2，1，﹣3）．

故答案为：（2，1，﹣3）．

【点评】本题考查空间向量的坐标的概念，向量的坐标表示，空间点的对称点的坐标的求法，记住某些结论性的东西将有利于解题．空间直角坐标系中任一点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为P4（a，b，﹣c）；关于坐标平面yOz的对称点为P5（﹣a，b，c）；关于坐标平面xOz的对称点为P6（a，﹣b，c）．

15．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z）的坐标满足方程（x﹣2）+（y+1）+（z﹣3）＝1，则点P的轨迹是

球面

．

【分析】直接利用空间两点间距离公式判断即可．

【解答】解：在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z）的坐标满足方程（x﹣2）+（y+1）+（z﹣3）第12页（共25页）

22222

2＝1，

满足空间两点间距离公式，动点到定点（2，﹣1，3）的距离为1，的点的轨迹，所以点P的轨迹是，球面．

故答案为：球面．

【点评】本题考查空间图形的判断，两点间距离公式的应用，考查计算能力．

三．解答题（共13小题）

16．已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为5点的坐标．

【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，即可求出点A、B，C、D，P的坐标．

【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，

∴四边形ABCD为正方形，P0⊥平面ABCD，

∴PO⊥AC，

∵AB＝5，

，侧棱长为13，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶∴AO＝0C＝5，

∵PC＝13，

∴PO＝＝12，

∴点A（5，0，0），C（﹣5，0，0），P（0，0，12），

∴B（0，5，0）．D（0，﹣5，0）．

【点评】本题考查了空间坐标系的问题，以及中点坐标公式，属于基础题．

17．如图所示，在底面是菱形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面的边长为a，且有一个角为120°，侧棱长为2a，在空间直角坐标系中确定点A1，D，C的坐标．

第13页（共25页）

【分析】利用几何体与空间直角坐标系，求解所求点的坐标即可．

【解答】解：底面是菱形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面的边长为a，且有一个角为120°，侧棱长为2a，

在空间直角坐标系中点A1（D（，，2a），

，﹣，0）

C（0，a，2a）．

【点评】本题考查空间点的坐标的求法，注意几何体的形状，底面的特征是解题的关键．

18．四棱锥S﹣ABCD中，底面边长为2，侧棱长为3，E是侧棱SC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试求点A、C、E的坐标．

第14页（共25页）

【分析】根据如图所示的空间坐标系，即可求出点A、C、E的坐标．

【解答】解：四棱锥S﹣ABCD中，

∴四边形ABCD为正方形，S0⊥平面ABCD，

∴SO⊥AC，

∵AB＝2，

∴AO＝0C＝∵SC＝3，

∴SO＝∴点A（∴E（﹣＝，0，0），C（﹣，0，）．

＝，

），

，

，0，0），S（0，0，

【点评】本题考查了空间坐标系的问题，以及中点坐标公式，属于基础题．

19．已知点A（0，1，0）、B（﹣1，0，﹣1）、C（2，1，1），若点P（x，0，z）满足PA⊥AB，PA⊥AC，试求点P的坐标．

【分析】利用PA⊥AB，PA⊥AC，得到向量的数量积为0．求解即可．

第15页（共25页）

【解答】解：∵PA⊥AB，PA⊥AC，

∴∴解得，，

．

．

∴P（﹣1，0，2）．

【点评】本题考查空间向量数量积的应用，熟练正确向量垂直与数量积是解题的关键．

20．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD＝BC＝1，DC＝2AB＝2PD，∠ADC＝60°，PD⊥底面ABCD，试建立空间直角坐标系，并表示五个点的坐标．

【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，通过数据关系求出各个点的坐标即可．

【解答】解：在平面ABCD中，过D作DC的垂线，以D为原点，DC为y轴，DP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则由题意知，D（0，0，0），A（C（0，2，0），P（0，0，1）．

，，0），B（，，0），

【点评】本题考查空间直角坐标系的应用，空间点的坐标的求法，考查基本知识的应用．

21．如图，设P、Q是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心，证明：（1）PQ∥平面AA1B1B；

第16页（共25页）

（2）面D1PQ∥面C1DB．

【分析】（1）利用中位线得线线平行，进而得线面平行；

（2）利用面面平行的判定定理，先证D1Q∥平面C1DB，同理D1P∥平面C1DB，得证．

【解答】解

（1）证明：∵P，Q为AD1，B1D1的中点，

∴PQ∥AB1，

AB1⊂平面ABB1A1，PQ⊄平面ABB1A1，

∴PQ∥平面ABB1A1；

（2）∵DD1∥BB1，DD1＝BB1，

∴四边形BB1D1D为平行四边形，

∴D1Q∥DB，

∴D1Q∥平面C1DB，

同理，D1P∥平面C1DB，

∴平面D1PQ∥平面C1DB．

【点评】此题考查了线面平行，面面平行的证明，难度不大．

22．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD．

（1）求证：AB∥平面SCD；

（2）求证：BD⊥SC．

第17页（共25页）

【分析】（1）推导出AB∥CD，由此能证明AB∥平面SCD．

（2）推导出SA⊥BD，连接AC，AC⊥BD，从而BD⊥平面SAC，由此能证明BD⊥SC．

【解答】证明：（1）∵底面ABCD为菱形，∴AB∥CD，

∵AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，

∴AB∥平面SCD．

（2）∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴SA⊥BD，

连接AC，∵底面ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

又∵SA∩AC＝A，∴BD⊥平面SAC，

∵SC⊂平面SAC，∴BD⊥SC．

【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

23．如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1（用几何法和向量法各做一次解答）

第18页（共25页）

【分析】几何法：连结B1C，BC1，交于点E，连结DE，推导出DE∥AC1，由此能证明AC1∥平面CDB1．

向量法：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC1∥平面CDB1．

【解答】几何法：

证明：连结B1C，BC1，交于点E，连结DE，

∵D是点D是AB的中点，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，

∴E是BC1的中点，∴DE∥AC1，

∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1．

向量法：

证明：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，

∴AC+BC＝AB，∴AC⊥BC，

以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，

点D是AB的中点，

则A（3，0，0），C1（0，0，4），C（0，0，0），B（0，4，0），D（，2，0），B1（0，4，4），

＝（﹣3，0，4），＝（，2，0），＝（0，4，4），

222设平面CDB1的法向量＝（x，y，z），

则，取x＝2，得＝（4，﹣3，3），

第19页（共25页）

∵＝﹣12+0+12＝0，AC1⊄平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

24．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E、F分别是AB、B1C1的中点．

（1）求证：直线EF∥平面ACC1A1；

（2）求直线BC1与平面ACC1A1所成角的余弦值．

【分析】（1）设BC的中点为G，连接EG，证明平面EGF∥平面ACC1A1，即可证明直线EF∥平面ACC1A1；

（2）令AC、BD相交于点O，连接C1O，C1D，C1B，证明∠BC1O即为BC1与平面ACC1A1所成角的平面角，即可求直线BC1与平面ACC1A1所成角的余弦值．

【解答】（1）证明：设BC的中点为G，连接EG．

第20页（共25页）

∵E、G分别是AB、BC的中点，则EG∥AC，

∴EG∥平面ACC1A1，同理FG∥平面ACC1A1．

又∵EG∩FG＝G，则平面EGF∥平面ACC1A1，

∵EF⊂平面EGF，

∴EF∥平面ACC1A1…（12分）

（2）解：令AC、BD相交于点O，连接C1O，C1D，C1B，

由已知BO⊥AC，BO⊥CC1，且CC1∩CO＝C

∴BO⊥平面ACC1A1，即OC1是直线BC1在平面ACC1A1内的射影，

∴∠BC1O即为BC1与平面ACC1A1所成角的平面角，

显然，△DBC1为正三角形，且C1O是BC1D的角平分线，

∴，即．

．…（12分）

即直线BC1与平面ACC1A1所成角的余弦值为

【点评】本题考查线面平行、线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

25．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°．

（1）求证：平面PAC⊥平面PAB；

（2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：BC∥l．

【分析】（1）根据勾股定理证明AB⊥AC，根据PA⊥平面ABCD得PA⊥AC，故而AC⊥平面PAB，于是平面PAC⊥平面PAB；

第21页（共25页）

（2）由BC∥AD可得BC∥平面PAD，再根据线面平行的性质得出BC∥l．

【解答】证明：（1）在△ABC中，由余弦定理，得：AC＝1+2﹣2×1×2×cos60°＝3，

∴AC+AB＝BC，∴AB⊥AC，

∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴PA⊥AC，

又AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，PA∩AB＝A，

∴AC⊥平面PAB，又AC⊂平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PAB．

（2）∵BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，

∴BC∥平面PAD，

又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面∩PAD＝l，

∴BC∥l．

222222

【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面平行的判定和性质，属于中档题．

26．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、H为棱AD、AB、AA1的中点．

（1）求证：平面HEF∥平面CB1D1．

（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

【分析】（1）连接BD，证明EF∥BD，EF∥B1D1，HE∥B1C，然后证明平面EFH∥面CB1D1．

（2）证明A1A⊥B1D1，A1C1⊥B1D1，即可证明B1D1⊥平面CAA1C1，推出平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

第22页（共25页）

【解答】证明：（1）连接BD，在长方体中，对角线BD∥B1D1，

又∵E，F为棱AD、AB的中点，

∴EF∥BD，

∴EF∥B1D1，

同理可证：HE∥B1C，

又∵EF∩HE＝E；B1D1∩B1C＝B，

∴平面EFH∥面CB1D1．

（2）在长方体中，A1A⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，

∴A1A⊥B1D1，

又∵在正方体中，A1C1⊥B1D1，A1A∩A1C1＝A1，

∴B1D1⊥平面CAA1C1，

又∵B1D1⊂平面CB1D1，

∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

【点评】本题考查直线与平面平行以及平面与平面垂直的判断的定理的应用，考查转化思想以及空间想象能力．

27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．

（1）求证：DC⊥平面PAC；

（2）求证：平面PAB⊥平面PAC．

第23页（共25页）

【分析】（1）推导出PC⊥DC，DC⊥AC，由此能证明DC⊥平面PAC．

（2）由AB∥DC，DC⊥平面PAC，得AB⊥平面PAC，由此能证明平面PAB⊥平面PAC．

【解答】证明：（1）∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，

∴PC⊥DC，

∵DC⊥AC，PC∩AC＝C，

∴DC⊥平面PAC．

（2）∵AB∥DC，DC⊥平面PAC，

∴AB⊥平面PAC，

∵AB⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAC．

【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．

28．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AC的中点．

（1）求证：A1E∥平面B1CD1；

（2）求证：平面B1CD1⊥平面AA1C1C．

第24页（共25页）

【分析】（1）取底面中点F，连CF，易证A1E∥CF，得证；

（2）只需证B1D1⊥AA1，B1D1⊥A1C1即可．

【解答】解：（1）证明：设A1C1交B1D1于F，

连接CF，

∵CE∥A1F，且CE＝A1F，

∴四边形A1FCE为平行四边形，

∴A1E∥CF，

又A1E⊄平面B1CD1，CF⊂平面B1CD1，

∴A1E∥平面B1CD1．

（2）证明：∵正方体中AA1⊥平面AA1C1C，

∴AA1⊥B1D1，

又∵B1D1⊥A1C1，

∴B1D1⊥平面AA1C1C，

∴平面B1CD1⊥平面AA1C1C．

【点评】此题考查了线面平行，面面垂直，难度不大．

第25页（共25页）