3.2.1 几个常用函数的导数教学设计内容推荐

3.2.1

几个常用函数的导数

3.2.2

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 1学习目标

1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝x的导数.2.能利用给出的x基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.

知识点一

几个常用函数的导数

原函数

f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2

1f(x)＝

xf(x)＝x 知识点二

基本初等函数的导数公式

原函数

f(x)＝c(c为常数)

f(x)＝xα(α∈Q*)

f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax

f(x)＝ex

导函数

f′(x)＝0 f′(x)＝αxα1

－导函数

f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x

1f′(x)＝－2

x1f′(x)＝

2xf′(x)＝cos_x

f′(x)＝－sin_x

f′(x)＝axln_a(a>0) f′(x)＝ex

f(x)＝logax f(x)＝ln x 1f′(x)＝(a>0，且a≠1) xln a1f′(x)＝

x

类型一

利用导数公式求函数的导数

例1

求下列函数的导数. 15(1)y＝x12；(2)y＝4；(3)y＝x3；

xxx1(4)y＝2sin cos ；(5)＝logx；(6)y＝3x. 222考点

基本初等函数的导数公式

题点

基本初等函数导数公式的应用

解

(1)y′＝(x12)′＝12x121＝12x11. －(2)y′＝(x4)′＝－4x－－4－14－＝－4x5＝－5. x3333235(3)y′＝(x3)′＝(x)′＝x－1＝x－＝

. 55555525xxx(4)∵y＝2sin cos ＝sin x，∴y′＝cos x. 22111(5)y′＝(logx)′＝＝－. 21xln 2xln 2(6)y′＝(3x)′＝3xln 3. 反思与感悟

若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导. 跟踪训练1

求下列函数的导数. (1)y＝(1－x)(1＋x(2)y＝2cos2－1. 2解

(1)∵y＝(1－x)(1＋1)＋x

x1)＋x；

x1－x11＝＋x＝＝x－，

2xx13∴y′＝－x－. 22

x(2)∵y＝2cos2－1＝cos x，

2∴y′＝(cos x)′＝－sin x. 类型二

导数公式的综合应用

命题角度1

利用导数公式解决切线问题

例2

已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由. 考点

基本初等函数的导数公式

题意

利用导数公式求解切线问题

解

因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线. 4－1设切点为(x0，y0)，由PQ的斜率为k＝＝1，

2＋11而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－. 211所以切点为(－，). 2411所以所求切线方程为y－＝(－1)(x＋)，

42即4x＋4y＋1＝0. 引申探究

若例2条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程. 解

因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，

则y′|x＝x0＝2x0，

4－1又因为PQ的斜率为k＝＝1，

2＋11而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝. 211所以切点为M(，). 2411所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0. 42反思与感悟

解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：

(1)切点处的导数是切线的斜率；

(2)切点在切线上；

(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决. 跟踪训练2

已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解

设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，

则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′|x＝x0＝－sin x0. 要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，

即sin 2x0＝2，这是不可能的. 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直. 命题角度2

利用导数公式求最值问题

例3

求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离. 解

依题意知抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x20). 1∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，

211∴切点坐标为(，)，

2411|－－2|2472∴所求的最短距离d＝＝. 82反思与感悟

利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算. 跟踪训练3

已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大. 解

设M(x0，y0)为切点，过点M与直线l平行的直线斜率k＝

y′＝2x0，

∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0

＝1. 故可得M(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0. 由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，

∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，

故点M(1,1)即为所求弧AOB上的点，使△ABP的面积最大.

1.下列结论：

①(sin x)′＝cos x；②(x)＝x；

③(log3x)′＝11；④(ln x)′＝. 3ln xx5323其中正确的有(

) A.0个

C.2个

B.1个

D.3个

答案

C 51解析

∵②(x)＝x3；③(log3x)′＝，

3xln 3∴②③错误，故选C. 12.质点的运动方程是s＝4(其中s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3 s时的速度为(

) tA.－4×34 m/s

－532B.－3×34 m/s －C.－5×35 m/s

－D.－4×35 m/s －答案

D 1－解析

∵s′＝(4)′＝－4t5，

t∴s′|t＝3＝－4×35. －则质点在t＝3 s时的速度为－4×35 m/s. －3.设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________. 1答案

e1解析

∵f′(x)＝，

xln a11则f′(1)＝＝－1，∴a＝. ln aeπ14.求过曲线y＝sin x上的点P(，)且与在这一点处的切线垂直的直线方程. 62π1解

曲线y＝sin x在点P(，)处切线的斜率

62ππ3k＝y′|x＝＝cos ＝，

66223则与切线垂直的直线的斜率为－，

3123π∴所求直线方程为y－＝－(x－)，

236即123x＋18y－23π－9＝0. 5.求下列函数的导数. π1x2(1)y＝cos ；(2)y＝5；(3)y＝；

6xxπ(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos(－x). 2解

(1)y′＝0. 15－－－(2)∵y＝5＝x5，∴y′＝(x5)′＝－5x6＝－6. xx

x233(3)∵y＝＝x2，∴y′＝(x2)＝x2＝x. 22x1(4)y′＝. xln 10(5)y′＝5xln 5. π(6)∵y＝cos(－x)＝sin x，∴y′＝(sin x)′＝cos x. 2

1.利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导. xx如求y＝1－2sin2的导数.因为y＝1－2sin2＝cos x，

22所以y′＝(cos x)′＝－sin x. 3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化. 33140分钟课时作业

一、选择题

1.下列各式中正确的个数是(

) 1215①(x)′＝7x；②(x)′＝x；③()′＝－x2；④(x2)′＝x5；⑤(cos x)′＝－x2576－1－233sin x；⑥(cos 2)′＝－sin 2. A.3

B.4

C.5

D.6 答案

B 解析

∵②(x1)′＝－x2；

－－⑥(cos 2)′＝0. ∴②⑥不正确.故选B. 2.若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是(

) A.1

B.－1

C.±1

D.33 答案

C 解析

∵f′(x0)＝3x21. 0＝3，∴x0＝±13.正弦曲线y＝sin x上切线的斜率等于的点为(

) 2π3A.(，) 32

π3π3B.(－，－)或(，) 3232π3C.(2kπ＋，) (k∈Z) 32π3π3D.(2kπ＋，)或(2kπ－，－) (k∈Z) 3232答案

D 11π解析

设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cos x0＝，∴x0＝2kπ＋22或2kπ－π3，k∈Z，∴y330＝2或－2. 4.已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b等于(

) A.4

B.－4

C.28

D.－28 答案

C 解析

∵点(2,8)在切线上，∴2k＋b＝8，①

又y′|x＝2＝3×22＝12＝k，②

由①②可得k＝12，b＝－16，∴k－b＝28. 5.已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(

) A.e

B.－e

C.11e

D.－e

答案

C 解析

设切点坐标为(x0，ln x0)，

则切线的斜率为y′|x＝x10＝x，

0又切线斜率可表示为ln x0－0x，

0－0∴1x＝ln x0，则x0x00＝e，

∴切线的斜率为1e.

6.设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 016(x)等于(

A.sin x

B.－sin x

C.cos x

D.－cos x

答案

A 解析

f1(x)＝f′0(x)＝(sin x)′＝cos x，

f2(x)＝f′1(x)＝(cos x)′＝－sin x，

f3(x)＝f′2(x)＝(－sin x)′＝－cos x，

f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，

3)

f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，

f6(x)＝f2(x)，…，

fn＋4(x)＝fn(x)，

可知周期为4，

∴f2 016(x)＝f504×4(x)＝sin x. 7.下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是(

) A.f(x)＝ex

C.f(x)＝ln x

答案

D 解析

若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1. 1因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(ln x)′＝>0，所以x不会使切线斜率之积为－1，故选D. 二、填空题

118.已知f(x)＝，g(x)＝mx且g′(2)＝，则m＝________. xf′2答案

－4 11解析

∵f′(x)＝－2，g′(x)＝m，∴f′(2)＝－，

x41又g′(2)＝，∴m＝－4. f′219.设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为x________. 答案

(1,1) 解析

因为y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1. 11设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－2

(x>0)，

xx11曲线y＝

(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－2

(m>0). xm因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，

所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1). 10.已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为____________. π答案

{x|x＝＋2kπ，k∈Z} 2解析

∵f′(x)＝－sin x，g′(x)＝1，

由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，

B.f(x)＝x3

D.f(x)＝sin x

即sin x≥1，则sin x＝1，

π解得x＝＋2kπ，k∈Z，

2π∴其解集为{x|x＝＋2kπ，k∈Z}. 211.若曲线y＝x________. 答案

64 解析

∵y＝x1212在点(a，a12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝13，∴y′＝－x－，

221213∴曲线在点(a，a)处的切线斜率k＝－a2，

2∴切线方程为y－a1212＝－a

(x－a). 233令x＝0，得y＝a2；令y＝0，得x＝3a. 2∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

139S＝·3a·a2＝a2＝18，

224∴a＝64. 三、解答题

12.点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离. 解

如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近. 111

则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，

所以ex0＝1，得x0＝0，

代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1). 利用点到直线的距离公式得最小距离为2. 213.已知函数f(x)＝x，g(x)＝aln x，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程. 解

因为f(x)＝x，g(x)＝aln x，

1a所以f′(x)＝，g′(x)＝. x2x设f(x)，g(x)的交点为(x0，y0)，

＝，x2x则由已知得y＝x，y＝aln x，0000001a

解得x＝e，y＝e.020ea＝，2

1所以切线斜率k＝f′(x0)＝f′(e2)＝，切点为(e2，e)，

2e1所以切线方程为y－e＝(x－e2)，

2e即x－2ey＋e2＝0.