1.2.3 空间几何体的直观图第二课时 公开课

第3课时

空间几何体的直观图

1.学会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.

2.学会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.

3.初步学会根据空间几何体的三视图画出空间几何体的直观图.

《清明上河图》为北宋画家张择端所作,该画描绘北宋京城汴梁及汴河两岸的繁华、热闹的景象和优美的自然风光.作品以长卷形式,采用散点透视的构图法,将繁杂的景物纳入统一而富于变化的画卷中,画卷有814人,牲畜60多头,船只28艘,房屋楼宇30多栋,车20辆,轿8顶,树木170多棵,往来衣着不同,神情各异,栩栩如生,其间还穿插各种活动,注重情节,构图疏密有致,富有节奏感和韵律的变化,笔墨章法都很巧妙,颇见功底.

问题1:张择端通过画笔把北宋汴河两岸的繁华和热闹的景象呈现在纸上,从数学角度来看,就是把空间图形通过

来呈现,像这种表示

的

叫作空间图形的直观图.

问题2:画水平放置的平面图形的步骤如下:

(1)在已知图形中取互相

的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴和y'轴,两轴交于点O',且使∠x'Oy'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成

于x'轴或y'轴的线段.

(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长度

,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的

.

问题3:三视图与直观图有何联系与区别?

空间几何体的三视图与直观图有密切联系.由于

从细节上刻画了空间几何体的结构,根据三视图可以得到一个精确的空间几何体,因此得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸).

是对空间几何体的整体刻画,根据

的结构可以想象实物的结构.

问题4:原图形面积S与其直观面积S直之间的关系为:S直=S原,S原=2

S直.

平面图形直观图的面积

如图所示,四边形ABCD是一个梯形,CD∥AB,CD=AO=1,△AOD为等腰直角三角形,O为AB的中点,试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.

空间几何体的直观图

已知某几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.

平面图形的直观图

画出如图所示的四边形OABC的直观图(已知OC=AD=2,OD=3,OB=4,OC⊥OB,AD⊥OB).

下图为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是(

).

考题变式(我来改编):

参考答案

知识体系梳理

问题1:平面图形

空间图形

平面图形

问题2:(1)垂直

(2)平行

(3)不变

一半

问题3:三视图

直观图

直观图

重点难点探究

探究一:【解析】在梯形ABCD中,AB=2,高OD=1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形,且上底CD和下底AB的长度都不变,如图所示.在直观图中,O'D'=

OD,梯形的高D'E'=

,于是,梯形A'B'C'D'的面积S=

×(1+2)×

=

.

【小结】(1)对于几何体的直观图,一方面,要掌握斜二测画法的规则,注意线线平行关系的不变性及长度的变化特征;另一方面,若能了解原图形面积S原与其直观图面积S直之间的关系:S直=S原,S原=2

S直还

可以简化有关问题的计算.

(2)把水平放置的直观图还原成原来的图形,基本过程就是逆用斜二测画法,使平行于x'轴(或在x轴上)的线段长度不变,平行于y'轴(或在y轴上)的线段长度变成原来的2倍.

探究二:【解析】(1)画轴.如图画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.

(2)画底面.利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上截取一点O',使OO'等于三视图中相应的高度,过O'作Ox的平行线O'x',Oy的平行线O'y',利用O'x'与O'y'画出面A'B'C'D'.

(3)画四棱锥的顶点.在Oz上取点P,使PO'等于三视图中相应的高.

(4)成图.连接PA',PB',PC',PD',AA',B'B,C'C,D'D,并擦去辅助线,即得到题中三视图所表示的几何体的直观图.

【小结】解决本类问题首先要根据三视图正确得出几何体的结构,几何体的结构不清易导致错误.

探究三:【解析】以O为原点,OB所在的直线为x轴建立直角坐标系xOy,如图(1).作∠C'O'B'=45°,其中O'B'是水平的,O'B'=4,O'D'=3,O'C'=1,过D'作∠B'D'A'=90°,使A'D'=1,顺次连接O'A',A'B',B'C',所得四边形O'A'B'C'即为四边形OABC的直观图,如图(2).

[问题]

四边形ABCO中的AD在直观图中画对了吗?

[结论]坐标轴上的点O,B,C画得正确,点A的直观位置画错了,在直观图中∠B'D'A'不再是90°,而是135°.

于是,正确解答如下:

如图所示,作∠C'O'B'=45°,

其中O'B'是水平的,O'B'=4,O'D'=3,O'C'=1,过点D'作∠B'D'A'=135°,使A'D'=1,顺次连接O'A',A'B',B'C',所得四边形即为四边形OABC的直观图.

【小结】直观图与实际图形比较,某些量(如长度、角度、面积等)在视觉上可能有些改变,但必须认为它们仍是原图中的那些量,同时,如两线间的平行关系、两三角形的全等、相似关系、线段的中点位置等在直观图中仍保持不变,解题时不能被直观图所迷惑.

全新视角拓展

【解析】根据斜二测画法的规则,将直观图还原,可知选C.

【答案】C