习题4.2优质课教案

直线和圆小结练习设计

一、基础训练

1．已知圆A，圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为(

) A．6 cm或14 cm

B．10 cm C．14 cm

D．无解

解析：选A.d＝rA＋rB，∴rB＝10－4＝6 cm或d＝rB－rA，rB＝10＋4＝14 cm. 2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线的方程为(

) A．x＋y－1＝0

B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0

D．x－y＋1＝0 解析：选A.AB的垂直平分线即是两圆心的连线．

3．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有(

) A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

2解析：选C.∵两圆标准方程为(x－2)＋(y＋1)2＝4，

(x＋2)2＋(y－2)2＝9，

∴圆心距d＝2＋22＋－1－22＝5，r1＝2，r2＝3. ∴d＝r1＋r2，∴两圆外切，∴公切线有3条．

4．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－2＝0的公共弦长的最大值是__________．

解析：两圆分别为(x＋a)2＋(y＋a)2＝1，(x＋b)2＋(y＋b)2＝2，两圆圆心都在直线y＝x上，当公共弦长取最大值时，即两圆的交点连线为小圆的直径，故为2. 答案：2 二、课堂检测与典型例题解析

一、选择题

1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(

) A．相离

B．相交

C．外切

D．内切

解析：选B.圆O1的圆心为A(1,0)，半径r1＝1，圆O2的圆心为B(0,2)，半径r2＝2，所以|AB|＝5. 又因为|r2－r1|＝1＜5＜|r1＋r2|＝3，所以两圆相交．

2．两圆：(x－a)2＋y2＝1和x2＋(y－b)2＝1外切的条件是(

) A．a2＋b2＝4

B．a2＋b2＝2 C.a2＋b2＝1

D.a2＋b2＝4 解析：选A.圆心分别为(a,0)与(0，b)，∴a2＋b2＝2. ∴a2＋b2＝4. 3．某洞口的横截面是半径为5 cm的半圆，则该半圆的方程是(

) A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝25(y≥0) C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0) D．随着建立的直角坐标系的变化而变化

解析：选D.建立的坐标系不同，所得的圆的方程当然不同，故选择D. 4．点P在圆：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是(

) A．5

B．0 C．3 5－5

D．5－3 5 解析：选C.两圆心的距离d＝35.两圆半径之和r1＋r2＝5＜d，所以两圆相离，最小距离为3 5－5. 5．过点P(2,3)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为(

)

A．2x－3y－1＝0

B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－1＝0

D．3x－2y－1＝0 解析：选B.弦AB可以看作以PC为直径的圆与圆x2＋y2＝1的交线，而以PC为直径的313圆的方程为：(x－1)2＋(y－)2＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB所在的直线方程为：24313(x－1)2＋(y－)2－－(x2＋y2－1)＝0，整理可得2x＋3y－1＝0，故选择B. 246．一圆过圆x2＋y2－2x＝0和直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是(

) A．x2＋y2－4x－4y＋6＝0

B．x2＋y2＋4y－6＝0 C．x2＋y2－2x＝0

D．x2＋y2＋4x－6＝0 2－λ解析：选B.设圆的方程为x2＋y2－2x＋λ(x＋2y－3)＝0，圆心为(，λ)，在y轴上，22－λ则＝0，∴λ＝2，

2故方程为x2＋y2＋4y－6＝0. 二、填空题

7．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB的方程是________．

解析：由题意可知，(x2＋y2－10)－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，化简得x＋3y＝0. 答案：x＋3y＝0 8．若圆B：x2＋y2＋b＝0与圆C：x2＋y2－6x＋8y＝0没有公共点，则b的取值范围是______．

解析：∵圆B与圆C没有公共点，且圆C过圆B的圆心(0,0)，∴圆C包含于圆B. 答案：b<－100 9．已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________．

解析：圆C2可化为(x＋2)2＋(y－2)2＝4，

则C1(0,0)，C2(－2,2)，

2－0则C1C2中点为(－1,1)，kC1C2＝＝－1，

－2－0∴所求直线斜率为1，

∴方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0. 答案：x－y＋2＝0 三、解答题

10．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则m为何值时，(1)圆C1与圆C2相切；(2)圆C1与圆C2内含．

解：对于圆C1，圆C2的方程，经配方后有

C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，

C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4. (1)①如果C1与C2外切，

则有m＋12＋m＋22＝3＋2. 即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，

即m2＋3m－10＝0，

解得，m＝－5或m＝2. ②如果C1与C2内切，

则有m＋12＋m＋22＝3－2＝1. 即(m＋1)2＋(m＋2)2＝1，

即m2＋3m＋2＝0，

解得，m＝－1或m＝－2. ∴当m＝－1或m＝－2或m＝－5或m＝2时两圆相切．

(2)如果C1与C2内含，

则有m＋12＋m＋22<3－2. 即(m＋1)2＋(m＋2)2<1，即m2＋3m＋2<0，

解得，－2

∴当－2

11．圆A的方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，圆B的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判断圆A和圆B是否相交，若相交，求过两交点的直线的方程及两交点间的距离；若不相交，说明理由．

解：圆A的方程可写为(x－1)2＋(y－1)2＝9，圆心A(1,1)，半径rA＝3.圆B的方程可写为(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圆心B(－1，－1)，半径rB＝2，

∴两圆心之间的距离满足

3－2＜|AB|＝1＋12＋1＋12＝22＜3＋2. 即两圆心之间的距离小于两圆半径之和且大于两圆半径之差，∴两圆相交．

两圆方程左、右两边分别相减可得4x＋4y＋5＝0，设两圆交点分别为C、D，则C、D两点坐标满足上述方程，故两圆公共弦所在的直线方程为4x＋4y＋5＝0. 则圆心A到直线CD的距离为

|4×1＋4×1＋5|13d＝＝2. 842＋42由勾股定理，得

132238222|CD|＝2rA－d＝23－＝. 324

238∴两圆相交，过两交点的直线方程为4x＋4y＋5＝0，两交点间的距离为. 412．如图，一座圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？

解：以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，设所在圆的圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，则A(6，－2)．

设圆的方程为x＋(y＋r)＝r，

将A(6，－2)代入方程得r＝10，

∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)．

如图，将A′(x0，－3)代入圆方程，求得x0＝51. ∴水面下降1米后，水面宽为2x0＝251≈14.28(米)．

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