习题3.3教学创新设计

【课题】

习题3.3-----两点间的距离公式

【教学内容】

本节课内容素材来自高中数学人教A版必修二第三章《直线与方程》习题3.3 A组6、7、8题和B组6、7、8题。

【学情分析】

目前学生已经学习了两点间的距离公式，可以对该公式进一步应用。通过这个知识点，让学生对数学内部的数与形、代数与几何加强联系。

【教学目标】

1、掌握两点间的距离公式的应用；

2、让学生经历代数与几何的转化，使学生不断地体会数形结合、转化与化归的数学思想。

【教学重点】

进一步掌握两点间的距离公式的应用；帮助学生经历代数与几何的转化。

【教学难点】

实现代数与几何的转化；明确几何关系的代数意义、代数式的几何意义。

【教学方法】

启发引导式

【教学过程】

由易入难

由几何入代数

由代数“翻译”几何

一、熟记两点间的距离公式

需要学生掌握两点间的距离公式并能运用到题目中来

例1：（A组

7题）

已知点P(a,2),Q(2,3),M(1,1)，且PQPM,求a的值。

解：由题意得

：PQ(a2)225

PM(a1)21

由PQPM，PQPM，得(a2)225(a1)21

9解得：a. 2二、几何与代数的转化

需要学生具有分析问题、解决问题的能力. 用解析几何的方法（坐标法）解决平面几何的问题，需要建立适当的平面直角坐标系，从而简化问题. 基本步骤：

第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；

第二步：明确几何关系的代数意义，进行有关代数的运算；

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系. 例2：（B组

6题）

证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 2222解析：以三角形的直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为x,y轴，建立平面

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直角坐标系，把斜边中点及三个顶点坐标表示出来，从而斜边中点到三个顶点的距离即可表示出来，比较即可得出结。

证明：如图：

以直角三角形的直角顶点C为原点，分别以直角边OA,OB所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系. y ab设A(a,0),B(0,b),AB的中点为M，则点M的坐标是(,). 22B M ab122CM()2()2ab

22212ab2

2所以，直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 三、难点突破

能力提升

例3：（B组

8题）

ABa2b2，所以MAMBO C A x 已知0x1,0y1，求证

x2y2x2(1y)2(1x)2y2(1x)2(1y)222

并求使等式成立的条件. 解析：不等式左边的式子具有明显的几何意义，它可以看成正方形内的一点P(x,y)到四个定点O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)的距离之和. 证明：在直角坐标系中，画点A(1,0),B(1,1),C(0,1)三点. y 设P(x,y)是正方形OABC内一点，则有

POx2y2

PCx2(1y)2

PA(1x)2y2PB(1x)2(1y)2

C B P

O A x

要证明x2y2x2(1y)2(1x)2y2(1x)2(1y)222，

即证明POPCPAPB22. 连结OB,AC，

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在POB中，有POPBOB2,当P在线段OB上时等号成立；

在PAC中，有PAPCAC2,当P在线段AC上时等号成立；

所以，POPCPAPB22，当P在线段OB与线段AC的交点时，等号成立，

即x2y2x2(1y)2(1x)2y2(1x)2(1y)222，

11等号成立的条件是x,y. 22【课堂小结】

本节课主要学习了：

1、两点间的距离公式的进一步应用；

2、用坐标法解决几何问题的基本步骤：

第二步：进行有关代数

第一步：建立坐标系，

运算

用坐标表示有关的量

3、明确几何与代数的内在联系。

【板书设计】

第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何关系

两点间的距离公式：AB(x1x2)2(y1y2)2

坐标法：建系——代数运算——运算结果“翻译”成几何关系

【教后反思】

通过本节的学习发现学生能对两点间的距离公式进行应用，但在发现代数的几何意义方面有所欠缺。在今后的不断学习过程中，要培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生的学习兴趣。

【课后巩固练习】

1：（A组

8题）

（1）求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的点的坐标；

（2）已知点P的横坐标是7，点P与点N(1,5)间的距离等于10，求点P的纵坐标. 解：（1）依题意，设所求的点M的坐标是(x,0)，

由MA13及A(5,12),得(x5)2(01)2132

解得，x0或x10. 所以，所求的点M有两个，它们的坐标分别是(0,0),(10,0). （2）依题意，设点P的坐标是(7,y)，

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由PN10及N(1,5)，得(71)2(y5)2100

解得，y1或y11. 所以，所求的点P有两个，它们的坐标分别是(7,1),(7,11). 2：（A组

6题）

已知点A(1,2),B(2,0),P(0,3),Q(1,1),M(1,0),N(4,0)六点，线段AB,PQ,MN能围成一个三角形吗？为什么？

解：由题设，根据两点间的距离公式，有

AB5,PQ5,MN(14)2(00)25，

因为ABPQMN，所以线段AB,PQ,MN不能围成三角形. 3：（B组

7题）

已知AO是ABC边BC的中线，求证：

ABAC2(AOOC)

2222证明：如图，以BC边的中点为原点，边BC所在直线x轴建立直角坐标系. 设C(c,0),A(a,b)，则B(c,0). AB(ac)2b2；

AC(ac)2b2；

OAa2b2；

OCc. 22222y A B O C x 所22以，ABAC(ac)2b2(ac)2b22(a2b2c2)，

2(AOOC)2(a2b2c2). 22因此，ABAC2(AOOC).

2222

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