2.3.2 双曲线的几何性质教学设计范文

双曲线的简单几何性质

江苏省泰州第二中学

梅蕊

提前在黑板上画好双曲线。

高一我们已经用解析法研究了直线、圆的几何性质，前几天我们也已经研究了椭圆的几何性质。对于解析几何的基本思想，也就是用代数方法研究几何问题,大家已经不陌生了。它包含两个方面，（直尺画出箭头，左虚右实）

①将几何对象代数化，即将曲线用方程表示；

②通过曲线方程研究曲线的几何性质. 这是今天的主要任务，用方程研究双曲线的几何性质。

板书课题：双曲线的简单几何性质。

（投影显示PPt1）今天的学习目标，请一位同学读一遍。

一、学习目标：

1.掌握双曲线的几何性质:范围、对称性、顶点、渐近线和离心率。

2.学会通过观察、类比、转化、概括的方式，探究使用方程来研究双曲线的几何性质。

（投影显示PPt2）下面请大家

二、自主探究

x2y2212ab

类比研究椭圆几何性质的方法，研究双曲线(a>0，b>0)的几何性质，并完成下表。大家可以进行小组讨论，不仅要得出结论，更要思考是怎样通过方程研究出双曲线的几何性质的。

方 程

x2y2（1ab0)

a2b2x2y2（1a0,b0)

a2b2图 形

范 围

对称性

顶 点

离心率

请完成表格的同学举手。

先请四位同学逐一回答第一列，（不作引申）。

在研究讨论过程中有解决不了问题的同学举手。

（如果没有），再随机喊同学回答。

强调性质的作用，并在黑板上作出相关的点、线。先作图再问为什么

1.

范围

怎样根据方程得到x的范围。

怎样根据方程得到y的范围。

板书：画出直线xa，表示在直线x=a的右侧和x=-a的左侧

2.

对称性

椭圆方程和双曲线方程有什么共同的特点，它们才有相同的对称性？

因为双曲线的这个性质，我们作图时可以先作出第一象限部分，然后根据对称性作出其它部分。

3.

顶点

怎么求？

板书：作出顶点，

类比椭圆有四个顶点，除了a,0，还有0,b，双曲线方程与y轴没有交点，为了便于画图，我们把B10,b,B20,b也画在y轴上。板书：作出另两个点，

线段A1A2叫？（双曲线的实轴）长度为？（2a），a叫？（双曲线的实半轴长），线段B1B2叫？（双曲线的虚轴）长度为？（2b），b叫？（双曲线的虚半轴长）板书：作出直线，构成矩形。

对比椭圆和双曲线，相同点都有一个由xa,yb四条直线构成的矩形，不同点是？椭圆在矩形内，双曲线在矩形外。

4.

离心率

怎么表示？范围？

板书e 同学们自主探究得很好！请自行解决问题1.请一位同学示范板演。（是否有自愿报名？如果没有，今天10月30号，请学号为30的同学。）板书在右上方

三、解决问题

问题1.求双曲线9x216y2144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标和离心率。

解决这题首先要？（化成标准形式）（8-10分钟,9:35前完成）

问题2.（1）是否存在实数,使双曲线9x216y2(0)经过点P(6,4)? （2）是否存在实数,使双曲线9x216y2(0)经过点Q(6,5)? 请大家立即计算，提问是否存在？（1）存在，（2）不存在

四、讨论探究

问题3.通过问题2可以发现双曲线的什么几何性质？怎样用代数方法加以验证？（学生讨论2分钟）（尽量让学生去讲1分钟讲清楚）

点P（6,4）满足条件，是因为（6,4）使得9x216y20，

点p（6,5）不满足条件，是因为（6,5）使得9x216y20，它们中间的分229x16y0，即直线3x+4y=0和3x-4y=0。

界线就是推广到一般形式，也就是所有焦点在x轴上的双曲线都要满足

以下板书

x2y2202ab

xyxy0abab0xyxy

或0，从而xyxyabab00abab所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内，也就是以直线bbyx和y-x为边界的平面区域内

aa在黑板上的图形上作出两条直线，强调就是矩形的对角线。

那么双曲线与这两条直线具有怎样的关系？

（有主动回答的吗？如果没有，请班长。引导学生回答）（2分钟解决，9:42前完成）

b根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线yx的关系。ab理解1：观察双曲线上一点M(（x,y）当x 逐渐增大时，点M到直线yxa的距离越来越小，但永远不为0 在黑板上的图上作出来。（如果来不及，就不看泰微课），直接引出渐近线的

概念。（PPT）强调就是矩形的两条对角线所在直线的方程，可以直接将右边的1改为0，直接得到渐近线方程。

理解2：观察双曲线上一点M(（x,y）当x 逐渐增大时，

提醒学生求出问题1 的渐近线方程。补全第一个表格第一列

（20分钟完成前面任务9:45前）

问题4.椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，那么，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么性质？

请同学们分组讨论2分钟，然后推选代表回答。（有主动回答的吗？没有就请数学课代表）

（板书）（4分钟内完成，9:49分前）

y2x2问题5.研究双曲线221(a0,b0)的几何性质，注意与abx2y2（1ab0)的区别和联系。

a2b2方 程

x2y22（1a0,b0)

2aby2x221(a0,b0)

2ab图 形

范 围

对称性

顶 点

离心率

渐近线方程

（2分钟讨论完成）重点完成第2列，提醒学生充分运用双曲线的几何性质作图，作出关键点，关键线，体现重要的性质特征。

问第二列的渐近线方程是什么？（提问一个学生）（9:54前完成）

五、当堂巩固

板书学生编出的题目

六、总结反思（10：03开始总结）

这节课你有哪些收获？

这节课主要完成了一件事，用类比的思想，借助方程研究双曲线的几何性质。

七、课后作业

课本P45:2、3、4、5