2.4.1 抛物线的标准方程教案1

§2.4.1 抛物线及其标准方程

一、概述

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高中苏教版版数学选修2-1

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第2章《圆锥曲线与方程》

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第4节第1小节《抛物线及其标准方程》

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本节对抛物线定义的研究，与初中所学二次函数图像相连接，体现数学学习从易到难的特点。此外对其标准方程的探索，更是对抛物线给出数学化的描述，体现数学简单美。

二、教学目标分析

1.知识与技能：

（1）理解抛物线的定义，画出图形，并掌握其标准方程；

（2）利用定义求标准方程，焦点，准线；

（3）掌握简单运用。

2. 过程与方法：

（1）根据抛物线特征选择不同解决方法；

（2）从具体情境中抽象出抛物线模型；

（3）用数学的思维和方法解决生活中与抛物线相关的问题。

3. 情感态度与价值观：

在学习抛物线中，体会数形结合处理问题的好处。

三、学习者特征分析

1.学生有一定的圆锥曲线的基础，在此前学习过圆，椭圆的知识；

2.清楚初中二次函数的图像是抛物线；

3.有很强的求知欲望，思维活跃。

四、教学策略选择与设计

1.采用启发式教学；创设情境，引导学生发现问题，运用类比，归纳的数学方法解决问题，是学生有被动接受转向主动学习；

2.通过类比椭圆的学习体系及运用的方法，进而学习抛物线体系；

3.适当的例题讲解，一方面巩固所学知识，另一方面培养自主思考解决问题能力。

教学重点：抛物线定义及如何建立适当坐标系，完成标准方程的推导过程。

教学难点：抛物线标准方程的推导过程。

五、教学资源与工具设计

1. 一个多媒体教室；

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2. 课前制作的ppt；

3.学生人手一本北师大版高中数学选修2-1；

4.事先准备好的纸板、直尺、三角板、细线、胶带。

六、教学过程

1.创设情境，引出课题

利用PPT给出嫦娥一号飞船的运行轨迹图，引起注意，

同时简单复习上节椭圆的相关知识。

再给出一张姚明的照片。

师：姚明是我国进入NBA的第三人，投篮十分准确，是我们的骄傲。篮球是很多男生喜欢的体育运动之一，大家知道投篮过程中球的运动轨迹是什么样子的？

生：一条弧线。

生：抛物线。

师：很好。回答很正确。其实在我们生活中，也有很多与抛物线相关的例子。展示赵州桥图片，雷达信号图。今天我们一起深入来研究抛物线。

2.动手实验，概括定义

师：初中，我们从函数的角度学习过抛物线，这一节课我们会冲破限界从另一个角度来认识抛物线。

下面请大家一起动手做一做：（同桌一组）

把一根直尺固定在纸板上面，把一块三角板地一条直角边

紧靠在支持的边缘，取一根直线，它的长度与另一直角边相等，

细绳的一端固定在顶点A处，另一端固定在纸板上点F处。

用笔尖扣紧绳子，靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，画出抛物线。

（走下讲台，及时对学生给予适当指导）

师：思考一下，这个过程中有什么不变量？

生：点P到F的距离和点P到直尺的距离相等。

师：好，下面谁来归纳一下抛物线的定义？

生：到定点的距离和到直线的距离相等的点的轨迹叫做拋物线。

师：如果F点在直线上呢？得到的轨迹还是抛物线吗？不是的话，会是什么？

（思考片刻后）

生：不是。如果F在直线上，只能是一条直线。

师：说得很对。通过刚才的探讨，那么可以归纳出抛物线的定义：

平面内与一个定点F和一条直线l(l不过F)的距离相等的点的集合（展示ppt）

这里：F：抛物线的焦点；l：抛物线的准线

2

强调l不过F。

3．启发引导，推导方程

类比于椭圆的学习（简单回顾一下椭圆标准方程的推导），接下来我们共同来推导抛物线的标准方程。根据抛物线的定义，到定点和到定直线的距离相等，设P是抛物线上任一点

要求抛物线方程，需要借助直角坐标系。已知一条抛物线及其准线，有几种方法建立直角坐标系，并求出方程？（分组讨论）

（一段时间后，请各组代表讲解）

老师归纳总结（展示PPT）

1、以F为原点，过F且垂直于定直线l的直线为y轴建立平面直角坐标系，此时得方程：y22pxp2(p0); 2、以K为原点，定直线l所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，此时得方程为：y22pxp2(p0)；

3、以垂线段KF的中点为原点，KF所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，此时得方程：y22px(p0)

y

y

y

图2

K

L

F

x

图1K

F



x

图3

K

F

x

L

L

图一

图二

图三

2y2px(p0)叫做抛物线的标准方程。观察会发现，第三种所得方程最简洁。我们把

3

师：请大家将课本逆时针旋转90度，观察图形有什么变化？

生：开口方向变成向上了。

师：很好。观察很仔细。其实抛物线的开口方向是可以任意的，可以向右、向左、向上，还可以向下。那么，请大家完成表格（PPT展示）

图 形

焦点坐标

准线方程

标准方程

p2,0



xp

2y22pxp0

p2,0



xp

2y22pxp0x22py

p0,2



yp

2p0x22py

p

0,2

4.习题训练，巩固知识（PPT展示）

yp

2p0

例1：（1）拋物线yax（a>0）的焦点坐标和准线方程

（2）已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，焦点到准线的距离是2，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程。

例2：有一次姚明投篮时，测得投篮的轨迹是抛物线，请看

右边画的图形，抛物线最高点离底面距离为4m，篮框高为3m，篮框中心离最高点的水平距离为2m，怎么求投中时抛物线的方程？

老师分析思路：

2x2py(p0)，代入点求解。

建立以最高点为原点的直角坐标系，设抛物线方程为25．小结本节知识。

4

教学流程图：

教学内容与教师的活动

媒体的运用

学生的活动

教师进行逻辑选择5

开始

动手实验，思考讨论

讨论结果

引导更正，总结出抛物线定义

表扬学生并提出怎样归纳抛物线定义

提出如何建立坐标系，求标准方程

学生分组探讨，代表讲解

求出标准方程并讨论抛物线其他形式

学生习题训练

老师讲解

小结

结束

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