4.6 对数函数的图像与性质教学设计一等奖

4.6对数函数

【教学目标】

对数函数

学科基本内容与要求（元目标）

1．对数函数的概念

2．对数函数的性质和图像

分解目标

1、对数函数的概念

知识知识与技目标维度

能

与技能

2、运用对数函数的性质求定义域和值域

3、运用对数函数的单调性比较大小

4、底数互为倒数的两个对数函数图像的对称性

5、含对数的简单复合函数的奇偶性

6、含对数的简单复合函数的最值

7、解含对数的简单的不等式

思1、应用数形结合、类比联想、分类讨论、化归想法等数学思想解决问题

方法

过程与方法

情感态度价值观

经历观察、分析、类比归纳等过程来探索问题

通过指数函数与对数函数图像与性质的联系与区别，树立事物是相互联系、相互转化，是对立统一的辩证唯物主义思想

体验

2

理解

初步运用

初步运用

掌握

判断

初步应用

初步应用

体会

归纳

2 2 2 3 2 2 2

2

2

行为动词

理解

掌握

认知水平

2 3

评价

1．掌握对数函数的概念，图像与性质．学会运用对数函数的性质求对数函数的定义域和值域．

2．学会运用对数函数的性质解决有关。

3．掌握底数互为倒数的两个对数函数图像的对称性，以及函数目标综述

y=logax与y= y=loga1的图像的对称性。

x4．能正确判断含对数的简单复合函数的奇偶性．

5．会求含对数的简单复合函数的最值．

6．会求解含对数的简单的不等式。

1

4.6对数函数

【教学目标】

1．掌握对数函数的概念，图像与性质．学会运用对数函数的性质求对数函数的定义域和值域．

2．学会运用对数函数的单调性等知识比较两个对数值(式)的大小．

3．学会观察、分析、类比归纳等方法来探索问题，形成应用数形结合、类比联想、分类讨论、化归法等数学思想解决问题的能力，提高创新意识和创造能力．

4．掌握底数互为倒数的两个对数函数图像的对称性，以及函数y=logax与y=loga1的图像的x对称性。

5．通过指数函数与对数函数图像与性质的联系与区别，树立事物是相互联系、相互转化，是对立统一的辩证唯物主义思想．

【教学重点】

对数函数的图像与性质。

【教学难点】

熟练运用对数函数的性质求对数函数的定义域、值域，会比较两个对数值(式)的大小。

【教学过程】

一、课前准备

由细胞分裂得到指数函数y=2x；如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个、10万个……细胞，分裂次数x和要得到的细胞个数y之间有什么关系？在这里哪个量是自变量，哪个量是因变量？

二、对数函数概念的引入

由引例，引导学生根据对数的定义，可得

x=log2y，

习惯上，我们用x表示自变量，y表示函数，即得

y=log2x

引导学生得出：函数y=log2x与指数函数y=2x互为反函数。

1．对数函数的概念

函数y=logax（a＞0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。函数y=logax（a＞0且a≠1）与指数函数y=ax（a＞0且a≠1）互为反函数．

2．对数函数图像的研究

(1)复习指数函数的图像与性质

(2)比较指数函数的底数大小

(3)试作出函数y=log2x和函数y=log1x的图像。

2[说明] 互为反函数的两个函数图像关于直线yx对称。

提问：观察下图，你能得出哪些对称关系？

2

[说明]由上图可以推出：

1．函数y=ax1与yax1xy=()ayy=axy=x的图像关于y轴对称；

y=logax2．函数y=logax与y=log1x的图像关于x轴对称；

a3．函数y=logax与y=loga1的图像关于x轴对称．

x(4)参照上面“指数函数的图像与性质”表格，类比归纳推出：

对数函数的图像与性质如下表：

图像

a＞1 0＜a＜1 0xy=log1xayx=1y=logax(a>1)yx=101xy=logax(0

性

(2)图像过定点(1 ，0)

(3)当x1时，y0

质

当0x1时，

(1)定义域为(0，)，值域为R (3) 当x1时，y0

y0

当0x1时，y0

(4)在(0，)上是减函数

(4)在(0，)上是增函数

[说明] 性质3也可概括为口诀：

“大大得大”——底数a＞1，真数x＞1，则对数y＞0；

“小小得大”——底数0＜a＜1，真数0＜x＜1，则对数y＞0；

“大小得小”——底数a＞1，真数0＜x＜1，则对数y＜0；

“小大得小”——底数0＜a＜1，真数x＞1，则对数y＜0。

(5)比较对数函数的底数大小

要比较对数函数的底数大小，可作直线y=1，则直线y=1与对数函数y=logax图像的交点的横坐标的值即为a．如图所示：由

yy=logaxy=1DACBy=logcxxy=logdxy=logbx0xBxAxDxC可得出：ba1dc0．

三．例题分析

1．求下列函数的定义域：课本第18页例1

2．求函数ylog2(6xx)的定义域与值域。

52

3

分析：由6xx20，解得3x2，得：函数ylog2(6xx2)的定义域是(3，2)．5125252当x(3，2)时，06xx2(x)2，且以为底的对数函数是单调递减的，244525ylog2(6xx2)log22，得：函数ylog2(6xx2)的值域是[2，)．55453．上图给出四个函数与代号为A、B、C、D的四个图像，将图像的代号填入括号内：

(1)函数ylgx的图像是((3)函数ylog2x的图像是()；(2)函数ylog4x的图像是()；(4)函数ylog1x的图像是(2yABCxD)；

)．01

答案依次是：C、B、A、D．[说明]对数函数y=logax的图像，当a＞1时，底数a越大，其图像越靠近x、y轴；当0＜a＜1时，底数a越小，其图像越靠近x、y轴．

4．若a＞0且a≠1，则函数y=ax-1-1的图像一定过点

(1,0)

；

函数y=loga(x-1)-1的图像一定过点

(2,-1) 。

[说明]指数函数y=ax的图像恒过点(0 ，1)；对数函数y=logax的图像恒过点(1，0)．

5．利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：《课本》第18页例2

6．比较下列两数的大小：

11(1)log0.1152与log62;(3)log35与log54;(4)log0.32与log20.3.

3与log20.01;(2)log分析：(1)底数00．11，真数0111根据对数函数的性质3得log0．0，1331又底数21，真数00．011根据对数函数的性质3得log20．010，得：log0．log20．01．1311(2)log5log6；(3)log35log34；(4)log0．3．32log20．22[说明]比较两对数大小的常用方法：

1．底数相同时，利用对数函数的单调性来比较；

2．底不同真数相同时，利用换底公式转化为底数相同的问题再比较；

3．底与真数都不同时，利用0、1或-1等中间量进行比较．

四、课堂小结

五、自我测试

1．利用对数函数的性质比较两个对数值的大小：

（1）

log35和log37；（2）log0.53和log0.5；（3）

loga解：（1）＜；（2）＞；（3）a＞1时＞，0＜a＜1时，＜。

2．求下列函数的定义域：

（1）

y=logax2；

（x∈（-∞，0）∪（0。+∞））

11和loga，（a＞0，且a≠1）。

23

4

（2）y=loga(4x2)；（x∈（-2，2））

（3）y=logax。（x∈（0，4））

4x

解：答案是(A)．

)．y3.当a1时，在同一坐标系中，函数yax与ylogax的图像是(y

y

00x

AB

4．作出函数ylog2(x1)的图像．yx0x0xCD解一：先作出其反函数y2x1的图像，再画这个图像关于直线yx的对称图形，

即为所求作的函数ylog2(x1)的图像．

解二：先作出函数ylog2x的图像，再向右平移1个单位即可．解三：用描点法作出函数ylog2(x1)的图像．5．根据条件，确定字母a的取值范围：(1)loga2a0;(2)loga212a1;(3)loga13(2a1)0;

(4)yloga(x2ax1)的定义域为R；(5)函数f(x)logax(2x4)的最大值比最小值大2．2分析：(1)12．(3)a1或12a1．(2)2a12a3．(4)0a1或1a2．(5)若a1，得ylogax在[2，4]是增函数，故loga4loga2loga22a2；若0a1，得ylogax在[2，4]是减函数，故loga2loga4loga综上得：a2或a

22122a22．．

5

4．6 对数函数（2）

【教学目标】

1．会求含对数的简单复合函数的单调性及单调区间．

2．能正确判断含对数的简单复合函数的奇偶性．

3．会求含对数的简单复合函数的最值．

4．会求解含对数的简单的不等式．

5．学会分析、类比归纳等方法来探索问题，形成应用整体代换、数形结合、分类讨论、化归法等数学思想解决问题的能力，提高综合思维能力和思辩能力．

6．通过探究性学习、体验性学习等教学双边活动，学会构建知识，提炼方法．并能归纳总结，激发内在的潜能，培养和锻炼自身的创新意识和创造能力．

【教学重点】

含对数的简单复合函数的单调性及单调区间、奇偶性、最值；含对数的简单的不等式。

【教学难点】

含对数的简单复合函数的单调性及单调区间、奇偶性、最值；含对数的简单的不等式。

【教学过程】

一、课前准备

1．观察

请问：函数ylgx是什么函数？

2．思考

该函数既不是幂函数，也不是对数函数；既不是两个函数的和函数，也不是两个函数的积函数．

3．讨论

该函数可看作是在幂函数到的．

二、学习新课

(一)概念、性质辨析

1．复合函数的概念

一般地，如果对于在某一范围D内的自变量x的每一个值，通过函数tg(x)，有唯一确定的t与之对应，而对所得的t，通过函数yf(t)，又有唯一确定的y与之对应，那么对在某一范围D内的每一个x，就有唯一确定的y与之对应，于是y是x的函数．这样的函数称为yt的自变量t的位置上，代入一个关于x的函数t=lgx而得12xD．其中yf(t)称为复合函数的外yf(t)与tg(x)的复合函数，记作yf(g(x))，函数，tg(x)称为复合函数的内函数，D为复合函数的定义域．例如，在ylgx中，yt为外函数，tlgx为内函数，x1为复合函数的定义域．

6

2．复合函数的定义域：

复合函数的定义域D是使内函数有意义，且相应的内函数的值落在外函数的定义域内的的全体．如，求yxlgx的定义域D，只要令lgx0，解得x1，于是D=[1，)．

[说明]1．复合函数的概念是否介绍，要根据所授课班级学生的实际接受能力而定．

2．要指出不是任意的两个函数都可以复合．

（二）例题分析

1.讨论函数yloga(x22x3)的单调性．分析：由x22x30，得x3或x1．当x3时，函数f(x)x22x3单调递增；当x1时，函数f(x)x22x3单调递减．

所以，若a1，则当x3时，函数yloga(x22x3)单调递增；当x1时，函数yloga(x2x3)单调递减．2

若0a1，则当x3时，函数yloga(x22x3)单调递减；当x1时，函数yloga(x2x3)单调递增．2

[说明]

1．本例要对a作分类讨论．

2．讨论复合函数单调性的步骤是：

（1）求出复合函数的定义域；

（2）把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并分别判定其单调性和单调区间；

（3）根据复合函数的单调性规律判定其单调性和单调区间．复合函数y=f[g(x)]的单调规律是“同则增，异则减”，即f(t)与g(x)若有相同的单调性则y=f[g(x)]必为增函数，若具有不同的单调性则y=f[g(x)]必为减函数．

2.判断下列函数的奇偶性：2x(1)f(x)loga2xx1x2(a0，a1);(2)f(x)ln(x2)ln(x2);(3)f(x)log2.2x2分析：(1)由2x0,得2x2，且对任意x(2，2)，有2x

2x2x2x2xf(x)f(x)logalogalogaloga10，2x2x2x2x2x函数f(x)loga(a0，a1)是奇函数．2xx20

(2)由x2．函数的定义域关于原点不对称，该函数不具有奇偶性．x20(3)由1x20，得1x1．又2x22x2x0，得函数的定义域是(1，0)(0，1)，x1x2f(x)log2log21x2(x(1，0)(0，1))，故该函数为偶函数．x

7

[说明]函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；

3.若x[2，4]，求函数f(x)(log1x)2log1x25的最大值．4411分析：令tlog1x，x[2，4]，t[1，]，而yt22t5(t1)24在[1，]上是单调递减的，

224所以，当t1即x4时，得fmax(x)8．[说明]本题利用了“换元法”，将问题化归为一元二次函数，利用对数函数和一元二次函数的单调性，求得最值．

11b，已知x时f(x)有最小值8，

x2(1)求a、b的值；(2)在(1)的条件下，求f(x)0的解集．4.设f(x)2(log2x)22alog2a42b4a2分析：(1)令tlog2x(x0)，tR，y2t2atb，当t时，得ymin242

1alog2a222由已知：242b4ab68422(2)由f(x)0得：2t24t60t1或t3，由log2x1或log2x3得x2或0x1即原不等式的解集为(0，)(2，)．81，8

[说明]对形如loga2xplogaxq0的不等式，利用“换元法”，设tlogax，将问题化归为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法求出，即logax，再利用对数函数的单调性，求得tx的解集．

（三）问题拓展

1

例：当x(0，)时，不等式3x2logax0恒成立，求实数a的取值范围．3解：原不等式等价于：3x2logax，在同一个平面直角坐标系内，分别作函数1111y13x2，y2logax，x(0，)的图像，当x(0，)时，y13x2，且y1y2在x(0，)时恒成立，333311111只能0a1，且必须y2loga成立，即a3a1,则a的取值范围是[，1)．33327271[说明] 1．对形如logf(x)ab等对数式底数中含有未知数的不等式，可利用对数定义或换底公式等，f(x)10f(x)1来求解．

化原不等式为或bba[f(x)]0a[f(x)]2．在求解含不同类型函数的方程或不等式时，常将不同类型的函数置于等号或不等号的异侧，再利用它们函数图像的关系，形象直观地得出结论．

8

3．构造适当的图形来解题，有助于提高解题能力与速度，突出了“数形结合”思想的简捷、直观和形象鲜明．注意对参数的“分类讨论”．

三、巩固练习

1．已知函数f(x)loga|x1|在区间(1，0)上有f(x)0，则f(x)在区间(，1)上的单调性如何？log|x1|0log(x1)0f(x)0分析：aa0a1x(1，0)x(1，0)0x11f(x)loga|x1|(0a1)f(x)loga(x1)(0a1)1)1)x(，x(，故由复合函数的单调性便知f(x)在区间(，1)上单调递增．2．若函数ylog1(x2kxk)在区间(，13)上是增函数，求实数k的取值范围．2

分析：令tg(x)x2kxk，则ylog1t关于t(0，)递减，因为y关于x(，13)递增，2

所以t关于x(，13)递减且t恒大于0，由二次函数的图象可知k132g(13)0223k2．13．定义在R上的偶函数f(x)在(0，)上是增函数，且f()0，求满足f(log1x)0的x的取值范围．381分析：yf(x)(xR)为偶函数，其图像关于y轴对称，有f(x)在(，0)上是减函数，且f()0，3111利用f(x)的“图像”可得：log1x或log1x0x或x2．332881即满足f(log1x)0的x的取值范围是x(0，)(2，)．28四、课堂小结

本节课继续学习了对数函数的性质，在理解复合函数概念的基础上，研究含对数的简单复合函数的单调性、奇偶性、最值等性质是本节课的重点和难点．

在研究复合函数的性质时，即要结合函数的单调性、奇偶性、最值的定义，又要善于利用“整体代换”等方法，将问题转化为基本函数来研究，同时要注意数形结合，分类讨论等数学思想的灵活运用．

五、自我测试

1．试比较下列各组数的大小：

（1）log0.1111与log20.01；

（2）loga212与log1a2（0＜a＜1，a，b∈R)；

3b2（3）log35与log54。

解：（1）log0.11＞log0.11=log21＞log20.01；

311（2）loga212＜loga211=log1a21＜log1a2；

b2（3）log35＞log33=log55＞log54。

2．作出函数y=log2（x-1）的图像。

解：先作出它的反函数y=2x+1的图像，再画这个图像关于直线y=x的对称图形，即得所求作的函数y=log2（x-1）的图像；or作y=log2x的图像，再向右平移1个单位长度。

9

3．已知loga2＞loga3，试确定a的取值范围。

解：由对数性质知，若a＞1，则loga2＜loga3；若0＜a＜1，则loga2＞loga3，而已知loga2＞loga3，∴0＜a＜1。

4．实数x取何值时，log4x（9x-2）的值为正？

解：4x1

or 9x21504x1211,，∴x∈（）∪（，+∞）

39409x215．求函数y=log2(6xx2)的定义域、值域和单调区间。

解：6-x-x2＞0，∴-3＜x＜2，t=6-x-x2= -（x+∴log2t≥log2512122525）+≤。∵log2t在（0，+∞）上递减，4425525= -2。∴log2t的值域为[-2，+∞)；-3＜x≤-0.5时，y递减，-0.5＜45x＜2时，y递增。

16．2

log23+257．若2a=3b=36，则log53=3；

1911111=

。

解：a=log236，b=log336，=log366=。

abab28．已知lga与lgb分别是x2+2x-4=0的两根，则ab=

。

解：lga+lgb= -2，lg（ab）= -2，ab=0.01。

29．lg0.06+lg62lg61的值为

-1

。

10．计算log535+2log122-log51-log514。

50解：原式=log535+log12+log550-log514=3-1=2。

2211．化简12lg（2x+2x1）+lg（x1-。

x1）22221解：原式=12

[ lg（2x+2x1）+ lg（2x-2x1）=2lg（4x-4x+4）=lg2。

12．已知2lgxy2=lgx+lgy，求x的值。

yy解：显然x＞y＞0，可知0＜x＜1。

（yxxy2）2=xy，x2-6xy+y2=0，（x）2-6·x+1=0 yy=3-22。

t113．设a＞0且a≠1，t＞0，试比较12logat与loga2的大小。

1≥t。当t=1时，1logt=logt1；当t≠1时，t1解：t（1）a＞1时，1aa222logat＜loga2；

2t1（2）0＜a＜1时，12logat＞loga2。

10