6.4 反三角函数课堂实录及点评

6.5最简三角方程（1）

一、

教学内容分析

最简三角方程是三角学的重要内容之一，是三角函数的周期性和反三角函数概念的最直接运用．其学习要求是在理解三角方程意义的基础上，牢固掌握最简三角方程的解集，并会解简单的三角方程．同时，解三角方程需要用到较多的三角、代数知识，这有利于温故而知新，在复习旧知识的基础上，培养综合、灵活运用知识和方法的能力．此外，需要指出的是由于三角函数是周期函数，有无限多个自变量对应于同一函数值，因此三角方程的解集通常是无限集．

二、教学目标设计

1．理解三角方程解集的概念，掌握最简三角方程sinxa、cosxa(a1)与tanxa(aR)的解集的一般表示形式．

[说明]解三角方程往往最终归结为解最简单的三角方程，因此，必须在理解的基础上，准确、熟练地写出最简三角方程的解集．这是学好三角方程的关键和基础．同时，特别要注意方程：sinxa(a1)的解集是xxk(1)karcsina,kZ，cosxa(a1)的解集是

xx2karccosa,kZ．

2．会解简单的三角方程（形如AsinxBcosxC，Asin2xBsinxC，Asin2xBcosxC等）．

[说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为sinx、cosx

1

的齐次式；（4）引入辅助角．

3．利用单位圆、函数的图像解与三角函数有关的方程问题.

三、教学重点及难点．

重点：最简三角方程的解集；

难点：简单三角方程在指定范围内的解和增根、失根问题．

四、教学用具准备

多媒体设备

五、教学流程设计

通过正弦函数在区间三角方程利用单位圆进行研究sinx的解

,的图sinx解集

像,研究sinx的解

1212的12最简三角方程sinxa、cosxa(a1)与tanxa(aR)的解集

应用举例（求最简三角方程在指定范围内的解，解简单的三角方程）

巩固、反馈、总结、反思、作业

六、教学过程设计

2

一、情景引入

1．观察

问题：

关于x的等式sinx，角x有无数多个？如何得到满足条件的x值？

因为sin61，所以x．

2612还可以写出哪些满足条件的x的值？

x=2k(kZ)（因为根据三角比的定义具有相同终边的角其对应的6三角比值相等）

还有其它满足条件的x值吗？

有！因为诱导公式sin也满足条件．

为了方便，可以选择正弦函数ysinx,长度为一个周期的区间551所以x2k(kZ)sinsin，66662,内,研究sinx2的解．如图所示：在xoy平面上作直线y2交正弦函数ysinx在该区间内于P1,P2两点，则P1,P2的横坐标就是515和，即方程sinx的解是x和x.考虑到函数ysinx的周6626611期为2，所以sinx的通解是x12k,x22k(kZ)．

61256

3

也可以利用单位圆进行研究．如图所示：在xOy平面上作直线15和的终边，交单位圆于P两点，则就是角也是角x,POP,OP121226615的终边，可得到sinx的通解：x12k,x22k(kZ)．

266y2．思考

既然sinx的解集是

5xx2k,kZxx2k,kZ，6612那么能否将sinx的解集写成

kxxk(1),kZ的形式？

6123．讨论

sinxa(aR)的解集: 当a1或a1时，直线ya与单位圆无交点，因而方程无解；

当a1时，直线ya与单位圆有一个交点，所以sinx1的解集是xx2k,kZ；

2同样,当a1时，直线ya与单位圆也有一个交点，sinx1的解集是xx2k,kZ；

2而当1a1时，直线ya与单位圆有两个交点，sinxa的解集是xx2karcsina,kZxx(2k1)arcsinak,Z,即

xxk(1)karcsina,kZ．

二、学习新课

1．概念辨析

4

（1）三角方程的定义：

我们把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程，把满足三角方程的所有x的集合叫做三角方程的解集．

（2）最简三角方程的定义：

形如sinxa,cosxa,tanxa的方程叫做最简三角方程．

（3）最简三角方程的解集：

即已知三角函数值求角，先求出它在一个周期的区间上的解（特解），再根据三角函数的周期性，求出方程的所有解（通解）．

最简三角方程的解集，见下表：

方程

a1

sinxa

方程的解集



a1

a1

a1

xx2karcsina,kZ

xxk(1)karcsina,kZ



cosxa

a1

a1

xx2karccosa,kZ

xx2karccosa,kZ

tanxa

xxkarctana,kZ

2．例题分析

例1、求下列方程的解集. （1）2cosx2；

（2）5sinx30；

（3）3tan2x10. x

解

（1）将原方程化为

cos2，

2

5

可得原方程的解集为镲x|x=2kp蔽,k睚

（2）将原方程化为sinx禳镲镲镲铪p4Z．

3，可得原方程的解集为：533kkx|xk1arcsin(),kZx|xk1arcsin,kZ=55．

（3）将原方程化为

tanx禳镲镲镲铪3，

3可得原方程的解集为镲x|x=kp蔽,k睚例2、根据下列条件，求方程sinx3的解. 2p6Z．

（1）x为锐角；

（2）x为某三角形内角；

（3）x为第二象限角；

（4）xR

解

（1）由题设得x；

3

（2）x13，或x232；

3

（3）x2k2,kZ；

3k

（4）xk1arcsinx23kk1,kZ．

23例3、求方程2cos()10的解集．

3解

将原方程化为

cos()，

22k(kZ)，

33x22

由2k，

得

x4k(kZ)；

2333x2

由2k，

得

x4k2(kZ)．

233x2312可得x2

6

所以原方程的解集为{x|x4k2或x4k2,kZ}．

3例4、解方程2sin(5x150)30(x为锐角)．

解

将原方程化为：sin(5x150)3，

2

可得5x150k1800(1)k600，

即xk360(1)k12030,(kZ)．

当k0时，x150；当k1时，x270；当k2时，x870．当k取其他取值所得的x都不合题意，所以原方程的解集为150,270,870．

[说明]求某一区间内方程解的问题，一般应先求出这个方程解的一般表达式，然后根据题设，确定整数k的取值，得到所求方程在特定区间内的解，否则有可能将符合条件的解遗漏．本题中若将原方程化为：sin(5x150)3，根据所求解是锐角，把解直写成5x150600，2解得x150，就少了两个解．另外本题应使用角度制. 例5、解方程sinxcosx1．

解一

两边平方，整理得sin2x0

∴

xk(kZ)

232经检验，x2k,x2k(kZ)为增根．

原方程的解集为xx2k,x(2k1),kZ．

2[说明]产生增根的原因是“两边平方”．事实上，所增的根正好是方程sinxcosx1的根．

解二

移项得：sinx1cosx

两边同除以(1cosx)，得

7

sinxx1，即tan1

1cosx2x解得k，∴x2k,(kZ)．

242[说明]这里出现失根x2k,(kZ)，正好是除式1cosx0的根．

解三

引入辅助角，化为sin(x)42

2

解得：x4k(1)k4，∴xk(1)k44,(kZ)．

原方程的解集为xxk(1)k,kZ．

44[说明]解方程的核心是方程的同解性问题，形成检验的习惯和能力至关重要．

3．问题拓展

例6、关于x的方程2cosx1k(2cosx1)有实数解,求k的取值范围．

解 由原方程得 2cosx12kcosxk，

即 cosx 要使方程有解，只需解得k或k3．

1所以k的取值范围为,3,．

313k1．

22kk11．

22k[说明]

当方程cosxa(a为常数）有解时，必须满足a1．

三、巩固练习

1、（口答）求下列方程的解集. （1）sinx13；

（2）cosx；

（3）7tanx6．

322、求下列方程的解集.

8

（1）sin2x＝33；

（2）2cos(x+)．

4243、根据下列条件，求下列方程的解集. （1）tanx3，x[2,4]；

32，x[0,]．

2（2）sin(x)64、求方程6sin2xsinx10在[0,2]内的所有实根之和．

5、若x=π是方程2cos（x+α）=1的解，其中α∈（0，2π），求α3的值

. 四、课堂小结

本节课的内容是解三角方程，在理解三角方程的基础上，准确、熟练地写出最简三角方程的解集．这是学好三角方程的关键和基础．解三角方程往往最终归结为解最简单的三角方程，确定最简三角方程在指定范围内的解是本节课的难点．

五、作业布置

略

六、教学设计说明

本节课直入主题，以问题为驱动，引导学生积极思考，共同探讨，从解方程sinx到解方程sinxa，从选择正弦函数ysinx的长度为一个周期内进行研究到利用单位圆研究，问题步步深入，思路逐渐打开．问题情景创设注意面向全体学生，而不是面向少数与个别，使每一个学生积极参与思维活动，既没有超出学生的认识范围，又使学生能够通过探索接受新的知识，使得学生新知识掌握水到渠成．

9 12

本节课对解简单三角方程作了方法指导，对于同一个三角方程，由于解法不同，得到的解集的形式可能不同，如何检验两个不同形式的解是否等价是关键，并有较大难度的问题拓展，以满足不同层次学生的需求，积极发挥课堂教学的基础型、拓展型和研究型功能，以培养学生的基础性学力、发展性学力和创造性学力．

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