5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切优质课一等奖

《两角和差的余弦》第一课时

教学设计详案 上海市育才中学

毛毅晨

一、【教学目标】

1、知识与技能

（1）理解两角和差的余弦公式的推导过程.

（2）理解两角和差的余弦公式的特征，并且既会正用、逆用，又会变形用.

2、过程与方法

经历两角和与差的余弦公式的推导，体会解决新的问题时大胆猜想，小心求证，勇于探究的思想方法.

3、情感态度与价值观

通过推导两角差的余弦公式，感受数学学习的严谨性，并培养对于陌生问题勇于探索的兴趣.

二、【教材结构分析】

两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是前几节内容中三角函数线、诱导公式等知识的延伸，把新的知识建立在已有知识上面，体现三角比这一章节中前后的紧密联系。这其中两角和差的余弦公式更是尤为重要，通过两角差的余弦公式可以推出另外几个公式。此外，本节也是后继内容辅助角公式、二倍角公式、半角公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要学习两角和与差的余弦公式的推导以及应用。

三、【教学重、难点】

1、教学重点

（1）理解两角差的余弦公式的推导过程，并能够运用两角和差公式，解决三角式的求值、化简和证明问题.

1

2、教学难点

理解两角差的余弦公式的推导过程.

四、【教法与学法】

1、教师教法：引导学生探索，体会公式推导过程；对问题进行总结归纳，让学生体会各种方法的优点. 2、学生学法：探索公式的形成过程，以及如何恰利用公式解决相关实际问题.

五、【学情分析】

通过之前三角比相关知识的学习，学生已经掌握了任意角三角比的推导方法、同角三角比关系、前四组诱导公式，为本节课推导两角和与差的余弦公式打好了基础。但是学生对于解决陌生问题的能力还是有所欠缺，在探究的过程中会遇到一定的困难。

六、【设计理念】

以学生为主体，尽量将课堂交给学生，而教师主要起引导的作用，让学生们自己通过观察，探究，比较来推导公式，重视两个公式的推导过程与过程中所用的思想方法，并逐步掌握如何灵活应用公式解决实际问题。

七、【教学过程】 教学流程

一. 知识回顾

教师活动

设计意图

预设效果

带领学生回顾之前章节中已经学习过的两组诱导公式：cos()cos，cos()cos，sin()sin，联系旧知识接入今天要学习的新的内容，把新旧知识练习起来，并且在这中间还隐含学生能够较快地答出诱导公式的结果，对于后面的解读也不

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“式子左边是两个角的里一个从特殊到一般的过程，sin()sin. 对诱导公式做一个解读：和差的余弦或正弦，右边是一个单角的正弦或余弦，通过这些公式我们可以用单角三角比来表示两个角的和或差的三角比，然而这两个角里面有一个是特殊的确定的角，不具有普遍的意义，那么当遇到一般问题的时候，对于两个任意角和的余弦或正弦该如何展开呢？那就让我们带着这个问题，伴随着思考开始这节课”（说完，书写标题：两角和与差的余弦，并说明我们讲两角和差的余弦公式开始研究。）

二. 公式猜想

存在过多的疑问，能够较顺利地引导到本节内容上面。

让学生体会这样学习数学的优点，并不断渗透这种思想.

请同学们猜想两角和与差的余弦公式，预设会有不少同学给出不强行直接硬塞给学生一大部分学生（主要是没有预先学习过的）可能会给出我预想的那个错误答案，并且也答案：coscoscos和coscoscos，此时个新的公式，而是结合对他们又会有同学认为这个结论不正确。那老师就可以抛出第一个问题：“如果判断一个命题是不正确的？”，思考一阵之后，会有人（或者我提示）说出可以通过举反例的方法，那么就根据同学给出的具体反例，来否定这个结论的正确性，并引导学生继续思考，正确的结果应该是什么。

学情认知的分析，对大部分同学可能产生的想法做一个预设，并展开说明其的不正确性，不太能想到可以用举造成学生的认知冲突，从而对于接下去推导两角差的余弦公式的过程更加好奇。同时，也反例的方法来说明它的不正确性，在这里我要做适当地引到和强调.

3（可能会用到的反例：cos()cos，3662cos

借此过程帮助学生回忆证明一个命题是假命题的方法是“举3cos613，两式不等）

23 反例”.

三. 公式探究与推导

（1）在推导了上面的结论不正确后，让我们重新来探究（1）引导学生去思考如何（1）根据学生情况的分析，在这里让学生自己能够发现通过单位圆来推导公式难度稍大，一方面要在之前的课程中对这一部分知识加以重视，解释具体。另一方面也在此做好了引导的准备，通过老师的解释让学生体会单位圆的优点。

（2）学生能够通过这一过程体会如何通过转换，把要求解的

得到两角差的余弦公式的推导cos和、之间的关系. 可以抛出一个问题引导学生思考：“怎么样可以方便且直观地将这些三角比表示出来？”

得到答案（或者我给出）“可以利用单位圆中的正弦线和余弦线来表示、的三角比值”并且此时用多媒体投影展示出做好的几何画板动画，标出对应的坐标，将cos,cos,sin,sin这些量直观地呈现在学生眼前.

过程，并且利用让抽象的内容较为直观地呈现在学生眼前，从而使得探究的过程更能找到切入点。

（2）紧接着提出问题：

“那在这个单位圆里面，的三角比的值该如何体现呢？”

，

（2）引导学生思考在推导的过程中如何转化可以使得我们要求解的内容cos能4

引导学生单位圆中如果角的顶点和原点重合，始边和x轴正半更好的表示出来。

轴重合的话，那么它角终边和单位圆的交点的坐标就可以用三角比来表示了，因此引导学生将角顺时针旋转得到A'OB'

，从而使得其始边与x轴正半轴重合，从而点A'的坐标便可以用

（3）在这一环节，抛出问题，让学生几个人一组讨论探究：

（3）以学生为主导，以培养学生的自主探究意识为目问题以合适的方法呈现出来，能够顺利地为之后的推导做好铺垫。

（3）学生讨论气氛应当较热烈，对于这个不算太简单的问题，互相讨论、合作，再通过计算从而推导出公式。

cos(),sin()来表示.

“将要研究的角合理转化之后，我们再来观察一下上面这两张图，标，在做好铺垫之后自行探索在旋转的前后能否再找到什么相等的量能够让我们来构建等式，从研究如果得到cos和而进一步得到cos和、之间的关系. ”

（4）讨论完毕之后，请学生代表分享讨论后的结果（找到相、之间的关系。由于此问题预设难度较大，所以加入了讨

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等的量即线段AB和A'B'的长度，并且能够利用）

（5）对于上述由学生合作推导出的两角差的公式，以教师的角度进行总结，强调“这个公式叫做两角差的余弦公式，对任意角论环节，同时可以增加学生之间的合作意识。

（4）预设学生能够通和都成立”，再提出一个问题：

“这个公式的展开从形式上有什么特征？”

并准备用语言小结：

“形式上右边是两个同名三角比的和，左右符号不同. ”

（6）回到本节的课题，在已经求得两角差的余弦公式的基础上，如何推导两角和的余弦公式，能否利用两角差的余弦公式更便捷地推导？给学生一点时间思考，并通过眼神的观察，请有想法的同学起立回答他的想法，并引导他给出两角和的余弦公式的推导过程：

coscos()coscossinsin

coscossinsin（4）鼓励学生探究，并分享探过讨论探究找到相等究后的结果，让学生能够成为课堂的主人，更好地培养学生自主学习的能力。并且通过对于公式推导这一过程的体验，更好地理解是如何利用“构造法”来推导这个公式的。

（5）帮助学生更好的理解并逐步开始掌握这个公式。

（6）将课程内容交代完整。并让学生通过这一公式推导的过程，了解如何通过代换的方法推导一些结论。

的量即线段AB和A'B'的长度，并且能够利用距离公式推导出两角差的余弦公式。

（5）学生对于概括性的语句往往会更加重视一些，所以该环节会让学生进一步强化对于公式的认识。

（6）这一步的推导较之前一个公式会简单很多，但是应当要做好必要的提示，让学生能够建立已有公式基础在此过程，不仅用到了刚刚推导出来的两角差的余弦公式，还结合了前面学过的诱导公式，把新旧知识再一次做了一个结合.

最后，再对本公式做一个类似的小结：

“展开的右边是两个同名三角比的差，左右符号依然不同. ”

并让学生将两个公式放在一起观察，发现两角和差公式的异

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同，进一步了解两角和差的余弦公式.

四. 例题精讲1

上推导新的公式。

给学生时间利用前面推导的公式正向求解具体问题，从而熟悉并掌握两角和差公式。此外在求解的过程中试图让学生自行探索如何“拆角”从而求解的过程，从而培养化未知为已知的能力和意识.

学生对于本例的完成情况应该相对不错，但是需要预设几种不同的拆角的方法，并帮助学生通过对比方向何种方法更优越. 此外，若学生出现拆角有困难的情况，可以提醒他们将弧度制转化为角度制，从而更易于观察出如何拆角.

学生对于这里的第三个问题反馈应该不错，结果也可能就只有几个比较特殊的角（cos105等）

.

7 例1. 求cos解：（1）

5，cos.

12125coscos75cos(30+45)12=cos30cos45sin30sin45

32126222224（2）

cos12=cos45cos30sin45sin30

23216+2+22224cos15cos(4530)

这些语句可以帮助学生更好的理解本题的思路，本能够更好的掌握两角和差的余弦公式的用法。而后面的问题也可以帮助学生做到举一反三。

对于此例将要说的一些总结性语句的：

①尝试将一个角拆成两个已知三角比的角的和或差的形式，从而通过公式求解此角的三角比的值.

②再次强调cos+展开式右边是差的形式，而cos展开式右边是和的形式.

③提问，还能用此方法求某个角的余弦值吗？（cos105等.）

四. 例题精讲2 35例2. 已知,是锐角，且满足cos,cos，求513让学生逐步掌握正向使用两角和差公式的方法，并且培养会根据具体的问题去寻求所需要的条件能力。

此变式的意图是为了让学生更好的明确在利用平方关系求三角比时要注意角的范围.

学生遇到此问题可能要稍作思考，尝试将cos展开后，根据具体的式子想到去求两个角的正弦值，但是容易忽略锐角这个条件而直接取正的值，虽让答案不会错，但是还是应该强调一下. （现在的学生即使当时在学习同角三角臂的时候反复强调，但到了新的内容里再碰到时候遗忘的几率还是很大）

通过变式，学生可以加深对于判断同角三角比的符号的重要性的印象. cos

和cos的值. 解： ，是锐角4sin1cos512sin1cos213coscoscossinsin 2354123351351365coscoscossinsin354126351351365对于本例的一些小结性语句：

①会正用两角和差的余弦公式，并通过了解展开式的结构知道需要哪些量.

②（强调）在利用平方关系求同角另一个三角比时，要根据角的范围来确定三角比的符号. 本题之后根据学生的反应情况可做如下变式：

3求cos

其中满足sin

54

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四. 例题精讲3 例3. 化简：coscossinsin的值.

33让学生更进一步了解两角和差余弦公式的展开式，并能够逆用此公式化简相关问题. 此问题还会有些同学尝试直接对两个复角的三角比进行展1解：coscos

323

体会逆用公式解决问题的优点.

开，一方面正弦还没有培养学生的整体意识，在学，另一方面即使学了，展开之后也是较为复杂的，对这种情况，要让学生对比发现逆用公式的优点.

在本例之后还可以根据实际课堂情况设置几道类似“逆用”公这里可以把看成一个整3式的问题请学生口答.

体的角从而来使用公式.

五. 课堂小结

今天这节课我们借助于单位圆，利用“构造法”推导了两角差通过简短的话语让学生回学生可能会有点的余弦公式，并借此推导了两角和的余弦公式，请大家好好体会这顾这40分钟所经历的学习过程抗拒这些话语，应当要两种推导方法和过程，在今后若再次遇到陌生的和三角比有关的问和内容，从而脑中对于新的知题时，可以有方向可寻。此外，我们也通过几道典型的例题，进一识有一个更完整清晰的认识.

步熟悉了如何应用两角和差的余弦公式，请大家好好巩固，把其含义弄明白了，掌握好了两角和差的余弦公式才能够为今后学习过程学习更多的公式打好基础！

六. 课后作业

把握好语速和用词，让学生能够乐于接受这些重要话语.

（1）练习册5.8 A,B组

（2）预习两角和与差的正弦公式.

通过作业巩固新知，开拓思维，温故而知新。

良好

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八、【板书设计】

5.8 两角和与差的余弦

一. 回顾

二. 猜想

三. 探究

学生板演探究过程

四. 例题

（1）

（2）

变式

（3）

九、【反思总结】

本节内容通过诱导公式引入两角和与差的概念之后，让学生先大胆猜想两角差的余弦公式，与预设的一样确实会有不少同学给出了coscoscos的结论，那在鼓励学生猜想的同时要引导同学举反例证明其错误性。随后通过单位圆研究cos与、之间的关系，给予学生足够的时间对于公式进行推导，体会这一过程中所蕴含的思想方法，这是本节课的一大难点，要注意引导并给予充分的时间。随后利用两角差余弦公式推导两角和的余弦公式将本节内容交代完整。随后，给出几道例题，帮助学生进一步掌握如何灵活应用两角和差的余弦公式。最后的一节是本堂课的升华。

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