正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系精品学案

24．3 正多边形和圆

一、教材分析

《正多边形和圆》是新教材九年级（上）第二十四章的内容。学生已经学习了圆的性质和与圆有关的位置关系，这些知识都将为本节的学习起着铺垫作用。本节内容正多边形和圆也是今后进一步研究圆的性质的基础，在教材中起着承上启下的作用。

二、学情分析

学生在前面已经学习了正多边形的概念，了解了多边形的内角和的计算公式。具有了一定的合情推理和演绎推理的能力。初三学生思维活跃，想象力丰富，喜欢动手，希望得到更多从事数学活动的机会，在取得进步或获得成功时希望得到肯定的评价。但部分学生对枯燥的数学问题缺乏兴趣，缺乏追求成功的韧性，这需要教师创设生动的问题情境，激起学生的探究欲望，在遇到困难时，引导学生团结协作，充分发挥集体智慧。

三、教学目标：

1、了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．

2、经历探索正多边形与圆的关系过程，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．

3、

学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力．

4、

学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的．

四、教学重点：探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算．

五、教学难点：探索正多边形与圆的关系．

六、教学准备：多媒体课件

七、教学方法：自主探究，合作交流与教师启发引导相结合

八、教学过程设计

（一）、观察图案，提出问题

教师演示课件，这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的图形．你能从这些图案中找出正多边形来吗？．

学生观察图案，思考并指出找到的正多边形．

（设计意图：通过观看美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美．）

[活动1] 问题1：什么样的图形是正多边形？

学生回忆得出各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

正多边形具有对称性吗？是轴对称图形吗？其对称轴有几条？是中心对称图形吗？对称中心是哪一点?

菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？

问题2：前面我们学习了点与圆，直线与圆的位置关系，你知道正多边形和圆有什么关系吗？

学生观察、思考，讨论，发表各自见解．

（设计意图：激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索，研究的热情，调动学生学习的积极性，并有意将注意力集中在正多边形与圆的关系上）

（二）、自主探究，获得新知

[活动2] 将一个圆六等分，依次连接各分点得到一个六边形，这六边形一定是正六边形吗？如果是，请你证明这个结论．

教师引导学生从正多边形的定义入手，证明多边形各边都相等，各角都相等，引导学生观察、分析．

问题1：六边形的各边相等吗？

学生通过分析能够得出六段相等的弧所对的弦是相等的，证明六边形的各边是相等的。

问题2：六边形的各角相等吗？各角在圆中是什么角？

学生通过观察发现圆内接六边形的各角都是圆周角。

问题3：每一个圆周角所对的弧有什么特点？

学生分析，发现每一个圆周角所对的弧都是四等份的弧，证明六边形的各内角相等，从而证明圆内接六边形是正六边形。

教师带领学生完成证明过程．

（设计意图：学生在教师的指导下进行逻辑推理，论证所发现的结论的正确性，从而培养学生科学严谨的治学态度和运用所学知识解决问题的能力．）

问题4：如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？

学生思考，同学间交流，代表发言，总结证明思路

（设计意图：将结论由特殊推广到一般．这符合学生的认知规律．并教给学生一种研究问题的方法：由特殊到一般．）

判断：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例。

学生思考，代表回答，师生评价。

（设计意图：巩固所学知识，明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，各角都相等，两个条件缺一不可，同时教给学生学会举反例，培养学生思维的批判性。）

（三）、了解概念，尝试应用

[活动3] 学生自学教材P105页最后一自然段，找出正多边形中心，半径，中心角，边心距等概念．教师演示课件，加深对概念的理解。

（设计意图：通过自主学习培养学生的自学能力。结合图形加深学生对概念的理解，使学生进一步明确正多边形各部分的名称。）

[活动4] 例题1

有一个亭子（如图）它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．

教师引导学生将实际问题转化成数学问题，明确哪一部分是地基。

思考：欲求地基的周长和面积，需要先求出正六边形的什么？

学生分析，小组讨论得出，先求出正六边形的边长和边心距。引导学生将多

边形转化成三角形来解决．体现了化归思想在解题中的应用．

师生完成例题1的解答．总结这一类问题的求解方法．

（设计意图：通过小组讨论培养了学生的合作意识，将实际问题转化成数学问题，将多边形化归成三角形来解决，体现了化归思想在解题中的应用。）

（四）、巩固提升，变式迁移

[活动5] 练习：根据已知条件完成表格

正多边

形边数

2

4 1

6 3

学生小组合作，完成表格，教师巡视，个别指导，代表汇报，生生评价。

（设计意图：通过表格，便于学生比较，加深对知识的理解，了解教学效果，及时调整教学，培养学生的合作精神。）

思考：

正n边形的一个内角的度数是多少？一个外角多少度？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？中心角与内角又有什么关系呢？

（设计意图：从特殊到一般的过渡，体现知识之间的联系，培养学生勤归纳，勤总结的学习习惯。）

（五）、反思总结，知识升华

1、本节课你学到了什么？

2、还有什么疑问？

（设计意图：学生自己总结，其他同学补充，不同层次的学生都能谈出自己的想法，收获以及存在的困惑，培养了学生的语言表达能力。通过生生，师生的交流，帮助他们解决问题，形成完整的知识体系。）

（六）、精选作业

必做题:习题24.3

5题,6题. 选做题:教材106页3题

尝试用所学知识设计一幅美丽图案。

（设计意图：学以致用，巩固提高，体现分层次思想，通过作业，内化知识。通过图案的设计培养学生的美感。）

（七）、板书设计

24．3正多边形和圆

正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。

正多边形的中心：

半径：

中心角：

边心距：

3 60°

内角

外角

中心角

半径

边长

边心距

周长

面积