反证法主要内容及教案内容

教师

教学媒体

武辉海

课题

24.2.1点与圆的位置关系(反证法）

多媒体

课型

新授

1.理解点与圆的位置关系并掌握其运用．

知识

教

学

目

标

技能

2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．

3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念及反证法的证明思想．

学生通过自主探索和交流合作的过程，经历探究一个点、两个点、•三个点能作圆的结论及作图过程

方法

情感

态度

教学重点

教学难点

方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆．从三点到圆心的距离逐渐引入点P•到圆心距离与点和圆位置关系的结论，并运用它们解决一些相关问题．

激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望，发展实践能力与创新精神.

点和圆的位置关系，过不在同一直线上的三点作圆的方法，运用反证法进行推理论证. 过不在同一条直线上的三点作圆，反证法的证明思路

教学过程设计

教学程序及教学内容

一、导语

前几节课我们学习了圆的性质，而圆作为一种重要的几何图形，还有好多知识，这节课开始我们来学习与圆有关的位置关系. 二、探究新知

（一）点与圆的位置关系

在纸上画一个圆，再在圆上任取一点，该点到圆心的距离有何特点？如果在圆外取一点呢？圆内呢？．

得到：圆上的点到圆心的距离都等于半径；圆外的点到圆心的距离大于半径；•圆内的点到圆心的距离小于半径. 即点与圆的位置关系有三种：点在圆内；点在圆上；点在圆外. 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，

点P在圆外d>r；点P在圆上d=r；点P在圆内dr点P在圆外；d=r点P在圆上；d

综合可得：设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，则有：点P在圆外d>r；点P在圆上d=r；点P在圆内d

1.作图

经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？

①作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？

②作圆,使该圆经过已知点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么? ③作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上），•你是如何做的？你能作出几个这样的圆？

分析：一个圆的圆心只确定它的位置，半径只确定它的大小，如果它的圆心和半径都确定了，那么这个圆的大小和位置就唯一确定了. 由③可知：①不在同一直线上的三个点确定一个圆．②经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．③外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．

2.反证法

思考：经过同一条直线上的三个点能不能作出一个圆？ 证明：如图，假设过同一直线l上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，•即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2师生行为

教师布置，学生画图，观察，交流，初步感知，师生总结出点与圆的三种位置关系，教师适当引导、补充、说明“”的含义，应用方法和格式

学生按照要求作图，并观察图形，思考教师提出的问题，通过小组交流，分析总结得到结论.作直角三角形，锐角三角形，钝角三角形的外接圆，观察外心的位置.

教师引导、点拨、学生自主、合作、探究，理解反设计意图

通过学生亲自动手操作，引出课题，并得到点与圆的位置关系

通过该问题引起学生思考，进行探究，发现不在同一直线上的三个点确定一个圆，初步感知.

理解概念，知道三角形的外心的相对位置

让学生理解反证法，感受数学的严谨性和数学结论的确定性

让新生感受反证法证明思想，培养学生分析问

⊥l，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，过同一直线上的三点不能作圆．

Pl1l2证法及其证明原理.

学生审题，思考，交流，利用弦的中垂线过圆心，作两条弦及它们的中垂线，两条中垂线的交点就是圆心.

学生思考过四点作圆的方法，这个内容是三点定圆的拓展，需要先选三个点确定一个圆，然后证明第四点也在圆上.

教师组织学生进行练习，教师巡回检查，集体交流评价，教师指导学生写出解答过程，体会方法，总结规律. 让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总

上面的证明方法与我们前面所学的证明方BC法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结A论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．

（三）应用

1.某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．

分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心．

2.如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AB=48cm，CD=30cm，高27cm，求作一个圆经过A、B、C、D四点，写出作法并求出这圆的半径（比例尺1：10）

分析：要求作一个圆经过A、B、C、D四个点，应该先选三个点确定一个圆，•然后证明第四点也在圆上即可．要求半径就是求OC或OA或OB，因此，•要在直角三角形中进行，不妨设在Rt△EOC中，设OF=x，则OE=27-x由OC=OB便可列出，•这种方法是几何问题代数方法解(数形结合法)．

三、课堂训练 教材P93练习

四、小结归纳

1.点和圆的位置关系

2.不在同一直线上的三个点确定一个圆．

3.三角形外接圆和三角形外心的概念．

4.反证法的证明原理．

五、作业设计

作业：复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做. 课题

点和圆的位置关系

三点定圆

三角形外接圆

三角形外心的概念

反证法

应用

1. 2. 题、解决问题的意识和能力，养成良好的分析问题和解决问题的能力和习惯.

让学生在探究过程中进一步把实际问题转化为数学问题，培养学生的应用意识和能力.

运用所学知识进行应用，巩固知识，形成做题技巧

让学生通过练习进一步理解本节所学知识，培养学生的应用意识和能力

归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯

巩固深化提高

板 书 设 计

归纳

教 学 反 思