正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系名师教学设计

24.3 正多边形和圆

一

知识链接：

自学教材P 113--- P 116，

回答下列问题

1、观察教材图24.3-1，请你从中找出正多边形，再举出一些这样的例子？

2、通过观察图形，请你说出正多边形的特征。

（1）正多边形：各边_________，各角也_________的多边形叫正多边形。

（2）矩形是正多边形吗？菱形是正多边形吗？

（3）阅读教材，认识正多边形和圆的关系：把圆分成n(n3)等份， ______________所得的多边形是这个圆的内接正多边形。

3、自主探究

问题1：将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论。

·

问题2：如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？

·

归纳总结：

1. 正多边形的性质：

正n边形的每一个内角都等于 ，中心角等于 ，

外角等于 ，正多边形的中心角与外角 . 2. 正多边形的有关概念：（阅读105页最后一自然段后完成）（结合右图理解）

叫做正多边形的中心，

叫做正多边形的半径，

叫做正多边形的中心角，

叫做正多边形的边心距

3.正多边形的计算中常用的结论是：

（1）正多边形的中心角等于 ; （2）正多边形的半径、边心距、边长的一半构成 三角形；

（3）正n边形的半径和边心距，把正n边形分为2n个直角三角形. 思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？

结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有 条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的 ；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是__________，又是__________ 图形

二、怎样画一个正多边形呢？ 1.等分圆周：

由于同圆中相等的圆心角所对的弧____,因此作相等的______角就可以等分圆. 2.画正多边形的方法：

（1）用量角器等分圆法：

例：画一个边长为1㎝的正六边形. ①算：计算 的度数 ；

②画: 画出一个 ；

·

③截: 截取相等的 ；

④连:顺次连接 . 思考：正六边形的半径与它的边长有什么关系？ （2）尺规作图等分圆法：

①你能用尺规将圆六等分吗？试一试.

·

·

②.用尺规作出正四边形、正八边形：

·

·

归纳总结：

1、正多边形每一个内角都等于 2、正多边每一个中心角和外角都等于 ，中心角和外角相等

3、.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 三：例题讲解：

例1 如图，已知等边△ABC内接于⊙O， 例2 已知正方形的周长为16 ___________度. 6.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的

大小关系是( ) A.S3>S4>S6 B.S6>S4>S3 C.S6>S3>S4 D.S4>S6>S3

7.若一个正多边的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边行的边数是（ ）

A. A.4 B.6 C.8 D.10 OB=10，求边长BC、边心距OE的长 求它的半径、边心距及面积

和△ABC面积. AOOBECAE例3、已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长a6、周长P6和面积S6．

E

D

O

F

R

C

归纳出正多边形的面积公式：

正多边形的面积sn= （用Pn—周长。Rn—边心距表示

A

B

四、当堂练习：

1.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比是________ A、1：3：2 B、9：4：1 C、3：2：1 D、1：2：3 2.圆的半径为8cm，则它的外切正方形的周长为________cm，内接正方形的周长 是________cm。

3.

已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为__________ cm. 4.

4.若一个正多边的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边行的边数（ ）A.4 B.6 C.8 D.10 5.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于8．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ）．

A．60° B．45° C．30° D．22．5°

BDCA

(1) (2) (3) 9．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（ ）．

A．36° B．60° C．72° D．108°

10．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（ ） A．18° B．36° C．72° D．144°

11.如图2，已知正三角形ABC内接于⊙O ，AD是⊙O 的内接正十二边形的一条边长，连接CD，CD=52cm，求⊙O的半径。

A

D

O

BC图2

12.如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，CB．

（1）求证：OP∥CB； （2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．