用频率作为概率的估计值公开课教案

2017年北京市中小学优秀教学设计评选

教学基本信息

课题

是否属于

地方课程或校本课程

学科

相关

领域

教材

数学

学段：

第三学段

数学

书名：数学

九年级上册

出版社：人民教育出版社

出版日期：2014年4月

教学设计参与人员

设计者

实施者

指导者

课件制作者

指导思想与理论依据

建构主义学习理论中提到：知识不是从外界搬到记忆中，而是以已有的经验为基础，通过与外界的相互作用而获取，通过意义建构的方式而获得.本教学设计在建构主义学习理论的指导下，依据学生已有的统计经验和对概率古典定义的理解，开展对概率统计定义的学习和体验. 由两个问题情境引入，学生用学过的知识——列举法求概率解决问题1，巩固旧知；通过问题2，感受到需要通过试验探究求概率的新方法.而后设计了两个师生活动——摸球试验和抛“图钉”试验，学生借助以往的统计经验，在收集、整理、描述、分析数据的过程中，探索并应用“用频率估计概率”的方法，获得新知. 教学背景分析

【教学内容】

姓名

郑洁

郑洁

陈俊

郑洁

单位

北京市第五十中学分校

北京市第五十中学分校

东城区教师研修中心

北京市第五十中学分校

联系方式

15801272571 15801272571

15801272571 25.3用频率估计概率

否

年级

九年级

随机变量及其分布

（高中）

“用频率估计概率”是学生在学习了随机事件、概率的意义和概率的古典定义的基础上进行学习的.概率的统计定义突破了古典概率以及高中阶段学习的几何概率中随机试验要满足“结果等可能”的限制，更具有一般性，其适用范围也更广泛.本节课通过开展摸球试验、模拟掷硬币试验、抛“图钉”试验，探索并应用“用频率估计概率”，体会频率的随机性与规律性，经历完整的统计过程，不断积累统计活动经验，培养数据分析观念，体会统计思想.学习“用频率估计概率”也为高中阶段学习《概率》打下基础，形成知识的螺旋式上升.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：用频率估计概率. 【学生情况】

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学生已经学习了概率的意义，会用列举法求概率.在前面第十章、第二十章的学习中，经历了数据的收集、整理、描述、分析的过程，有一定的数学活动经验，初步建立和发展了数据分析观念. 我校是一所普通中学，我授课的班级学生学习数学的积极性较高，有解决数学问题的愿望，但数学基础较弱.在之前一节活动课《杨辉三角》中，学生对abn0,1,2,3,4,5,6展开式中的规n律探索有着强烈的好奇心和求知欲，课上积极讨论，课下主动查阅资料；但由于基础较弱，学生对展开式的获得有比较大的困难. 为了更好地设计学生活动，课前对我班学生进行了检测，了解学生的实际情况，数据如下：

题目

1.学校为了了解初一学生参加社团活动情况，随机调查了30名学生，结果显示有6名学生参加了“风筝”社团，则参加该社团的频率是

. 2.一个不透明的袋子中放有质地均匀的7个黄球和3个白球，并将袋中球摇匀，则摸出一个球是黄球的概率为

. 3.判断正误：天气预报显示降水概率为85%说明明天一定下雨.（

）

4.判断正误：抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面向上”的概率是0.5，说明每抛掷硬币10次，就一定有5次正面向上.（

）

思考：能对你的选择加以解释吗？

5.（1）动手试验：请你抛掷一枚一元硬币10次，并填空：“正面向上”的次数为

，“正面向上”的频率为

. （2）频率与概率之间有联系吗？

A.有

B.没有

（1）100% （2）选A：68.8%

选B：31.2% 82.4% 正确率

100% 76.5% 100% 从数据中看出，学生基本掌握求频率的方法，对数据随机性有一定的感知，但对频率与概率之间是否存在联系缺少感性认识，这与学生以往所学的大部分是确定性知识有关.因此如何用频率估计概率，认识频率与概率间的联系和区别，对学生来说有一定困难.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：频率与概率之间的关系. 【教学方式】启发探究式.

【技术准备】平板电脑交互平台；3D打印试验用具“图钉”（保证试验的可操作性和安全性）.

教学目标

【知识与技能】

（1）知道通过大量试验，可以用频率估计概率. （2）体会随机现象少量试验结果的随机性以及大量试验结果的规律性，了解频率与概率间的联系和区别，体会用频率估计概率的必要性. 【过程与方法】

通过摸球、抛“图钉”等探究活动，培养数据随机观念. 【情感态度价值观】

通过活动探究，培养合作、交流、倾听的品质.

教学重点、难点

【教学重点】用频率估计概率.

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【教学难点】频率与概率之间的关系.

问题框架

用频率估计概率

（一）引出新知

对于课前检测中题4，说说你的看法？

随机事件发生的频率与概率之间是否有关系？

（二）形成认知

摸出黄球的概率是多少？

你是如何计算的？

用列举法求概率需要满足什么条件？

抛一枚图钉，“尖朝上”的概率是多少呢？

能用列举法求概率吗？为什么？

探索新方法

摸球试验

观察各组试验数据，你有什么发现？

为什么摸出黄球的频率不同？

为什么试验得出的频率与摸出黄球的概率不同？接下来怎么做？

观察累加后的试验数据，你又有什么发现？

【反思】频率与概率之间有没有联系？频率与概率一样吗？？

（三）发展认知

观察各组试验数据，有什么发现？

观察累加后的试验数据，有什么发现？

（四）课堂小结

本节课你学到了什么知识？

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应用时，需要注意什么？

有哪些经验可以为你今后的学习提供帮助？

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教学流程示意

为了达成本节课的教学目标，突出重点，突破难点，设计了以下师生活动：

【活动一】摸球试验

探索用频率估计概率

体会频率的随机性和规律性

进一步体会频率与概率的关系

初步体会频率与概率的关系

板书设计

25.3用频率估计概率

频率

随机性 规律性（大量重复试验）

．．一般方法 估计概率（本身存在）

．．

教学过程

【活动二】抛“图钉”试验

【活动三】课堂小结

应用用频率估计概率

总结知识、方法、活动经验

体会一般方法

教师活动

出示课前检测数据，设置悬念，引出新知. 【过渡】随机事件发生的频率与概率之间是否有关系？我们一起研究看看. 【提问】一个不透明的袋中有大小相学生活动

分享看法，明确本节课主题.

口述如何计算概率，回顾概率设计意图

设置悬念，引出新知.

通过两个问题情境引入，由问题2，使学(一) 引出新知

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同、质地均匀的6个白球和2个黄球，的古典定义的应用条件. 将袋中球摇匀后，摸球一次，请问：摸出黄球的概率是多少？

【分析】摸球试验中，满足：

生自然地想到要通过1.可能出现的结果有限；

做试验求抛图钉“尖2.各种结果出现的可能性相等. 朝上”的概率，并引1【提问】如果是抛一枚图钉，“尖朝上”P摸到黄球

出用摸球试验来探索4的概率是多少呢？

求概率的新方法，并

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教学过程

教师活动

【追问】能用列举法求概率吗？为什么？

引导学生思考、交流，引出下一环节.

【过渡】我们从会求概率的随机事件入手，用摸球试验探索一下能不能求概率？

【活动一】摸球试验. 活动任务：每两位同学一组，一次摸一个球，观察颜色，记录并放回，摇匀后．．．．活动要求：分工合作，将试验数据记录

学生活动

设计意图

验证这种方法的可行性.

开展摸球试验，探索“用频率估计概率”的方法.

学生收集、整理试验数据，通过观察、分析数据，感受到小数量的数据样本可能存在较大差异，从而体会频率具有随机性.在活动过程中培养学生的数据分析观念.

分析不能用列举法求概率的原因，并得出只能通过做试验尝试.

开展摸球试验，收集数据，整理数据，拍照上传、组间分享试验数据.

观察、分析数据，分享交流，得出频率具有随机性. (二) 再摸下一次，完成50次试验. 形成认知

在活动记录表中，拍照上传到作品库.

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组织学生试验，收集数据，输入Excel表格中.

【技术手段】拍照.

【提问】观察各组试验数据，你有什么发现？

【提问】各组在相同条件下做的试验，【预设】

为什么摸出黄球的频率不同？

总结：每次试验结果都是不确定的，既有可能摸出黄球，也有可能摸出白球.所以在相同试验条件下，摸出黄球的频1.各组摸出黄球的次数不同；

2.摸出黄球的频率不同；

3.与摸出黄球的概率不同.

率也是不确定的，即使再做50次试验，

试验结果与前50次试验也不一定相同.所以频率具有随机性. ．．．．．．．

【提问】哪个数据会和概率有联系？

得出频率会和概率有联系，认

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教学过程

教师活动

【提问】为什么试验得出的频率与摸出黄球的概率不同？接下来怎么做？

借助Excel，逐步累加并整理各组试验数据. 【提问】观察这组试验数据，你又有什么发现？

学生活动

识到需要增加试验次数.

观察累加的试验数据，借助散点图，分析数据，初步感受频率的稳定性. 【预设】

设计意图

通过累加试验数据，不断增加试验次数，并借助统计图表，使学生初步感受到当试【技术手段】屏幕广播

【过渡】历史上许多数学家也经历了大量的试验探索，我们一起看一下. 展示掷硬币试验历史数据.

试验次数虽增多，但仍然有限，验次数不断增加时，可能会出现下面三种情况：

1.频率表现出规律性，稳定在概率附近.（体会到频率在大量重复试验下表现出稳定性）

2.频率表现出一定规律性，但与概率有较大差距.（分析原因，意识到试验次数不够）

3.频率不能表现出规律性.（试频率会表现出稳定性，从而初步体会用频率是可以估计概率的.

通过掷硬币的历史数据和模拟掷硬币试验，帮助学生加深体会，获得概率的统计定义. 结合试验使学生初步体会频率与概率既有联系，又有区别. (二)

形成

认知

模拟掷硬币试验，引导学生体会大量重复试验下频率的规律性. 【提问】观察数据，你有什么体会？

总结：虽然频率具有随机性，但在大量重复试验下，随着试验次数增多，频率验次数有限，频率表现随机性的可能性大）

观察、分析数据，得出方法.

会越来越稳定在概率附近.所以频率具．．．

有规律性，用频率可以估计概率.

．．．．．．．．．．．．．．

【反思】频率与概率之间有没有联系？频率与概率一样吗？说说你的看法. 总结：

1.频率是试验数据，具有不确定性，受试验影响；

2.概率是确定的，随机事件的概率本身存在（固有属性），不随试验次数变化；

3.但随着试验次数增多，频率可以作为

结合摸球试验，思考、交流频率与概率的联系和区别，

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教学过程

教师活动

概率的一个很好的估计.

【过渡】通过摸球试验，我们得到了“用频率估计概率”的方法.那么抛一枚图钉，“尖朝上”的概率是多少，我们能不能解决了？

【活动二】抛“图钉”试验. 活动任务：借助从摸球试验中获得的经

学生活动

设计意图

通过抛“图钉”试验，学生应用“用频率估计概率”的方法估计概率，体会这种方法使得可求概率的随机事件的范围扩大，更具一般性.并再次体会频率与概率的联系和区别，突破难点.在活动中，经历收集、整理、描述、分析数据的统计过程，积累应用“用频率估计概率”的方验，估计在相同条件下，抛一枚“图钉”，法估计“尖朝上”概率，经历“尖朝上”的概率有多少？

收集、整理、描述、分析数据活动要求：1.保证试验条件基本相同；

的统计过程. 2.根据活动记录表上的要求记录试验数据；

3.整理试验数据，输入Excel中，并提交.

观察、分析数据，再次体会少

(三) 发展认知

【技术手段】推送资源（Excel表）.

组织学生试验，收集学生试验数据并输入Excel表格中.

【提问】先看一下同学们的试验数据.有什么发现？

展示学生提交的试验数据. 量试验频率呈现出的随机性，

统计活动经验，培养大量试验频率呈现出的规律性.再次体会频率与概率之间联系和区别.

总结：随机事件发生的概率是数据分析观念.

【技术手段】四屏投影.

【提问】再看一下累加的试验数据.有什么发现？估计一下“尖朝上”的概率. 客观存在的，与试验次数无关；

展示累加的试验数据，引导学生估计概率.并展示课前教师所做的2000次试验数据（见附表），使学生感受到师生共同学习的过程.

【反思】通过这个试验，你又有哪些体会？

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而频率受试验影响，具有随机性；但随着试验次数增多，频率将会稳定在概率附近.

用频率估计概率的方法更具一般性，在应用时要注意“同等条件下的大量重复试验”这个条件. 展示课前教师所做的抛“图钉”试验数据，与学生分享，感受师生共同学习的快乐.

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教学过程

教师活动

师生共同回顾本节课所学的主要内容. 1.本节课你学到了什么知识？

2.应用“用频率估计概率”的方法求随(四) 机事件发生的概率时，需要注意什么？

3.在本节课学习的过程中，有哪些经验

学生活动

设计意图

从知识、方法、活动经验的角度引导学生梳理本节课主要内容；通过介绍概率统计在其他领域中的应用，激发学生学习数学的兴趣.

回顾、交流. 课堂小结

可以为你今后的学习提供帮助？

概率统计在很多领域中具有广泛的应用，比如“遗传学之父”——生物学家孟德尔，利用豌豆实验发现了遗传规律，其中就用到了用频率估计概率. 【布置作业】教材147页练习.

学习效果评价设计

【评价方式】

1.师生量化表

2.课后检测：

（1）彩票中奖率为千分之一，你买1000张彩票一定有1张中奖吗？为什么？

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（2）下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果. 投篮次数

投中次数

投中频率

50 28 0.56 100 60 0.60 150 78 0.52 200 104 0.52 250 123 0.49 300 152 0.51 500 251 0.50 请问：这名球员投篮一次，投中的概率约是

.（结果保留小数点后一位）

本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点

本节课是以“探索并应用‘用频率估计概率’，体会频率与概率的联系和区别”展开知识的发生、发展过程的. （1）注重帮助学生积累统计活动经验.通过“摸球试验”，学生在“做”和“思考”过程中，形成认知；通过“抛图钉试验”，学生经历完整的收集、整理、描述、分析数据的统计过程，应用“用频率估计概率”的方法，估计“尖朝上”的概率，在交流、反思中发展认知. （2）注重培养学生的数据分析观念，突出统计思想，注重学生数学核心素养的养成.通过两个试验，层层递进地引导学生体会频率与概率的联系和区别. （3）关注学生的认知水平.借助课前检测，充分了解学生情况，从学生认知水平出发设计活动，在师生、生生积极参与、互动的过程中，引起学生的数学思考. （4）借助平板电脑、3D等信息技术，增强学生间的合作，激发学生学习数学的兴趣.

抛“图钉”试验数据

试验次数

“尖朝上”次数

“尖朝上”频率

试验次数

“尖朝上”次数

“尖朝上”频率

100 27 0.270 1100 309 0.281 200 50 0.250 1200 335 0.279 300 85 0.283 1300 359 0.276 400 119 0.298 1400 388 0.277 500 149 0.298 1500 418 0.279 600 176 0.293 1600 447 0.279 700 202 0.289 1700 475 0.279 800 225 0.281 1800 505 0.281 900 249 0.277 1900 530 0.279 1000 274 0.274 2000 560 0.280

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