2.3 抛物线（通用）多媒体教学设计及其点评

直线和抛物线的位置关系

小店区一中 鲍丽如

【学习目标】掌握抛物线定义及其标准方程和抛物线的几何性质.掌握直线和抛物线的位置关系的判断方法.熟练掌握直线和抛物线的位置关系的应用.在探究过程中,运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题,进一步提高学生解决问题的能力

【教学重点】

重点：用代数的方法（对方程组解的讨论）来研究直线与抛物线的公共点问题

难点：对直线与抛物线仅有一个公共点时位置关系的应用探究

【教学程序与设计环节】

创设情境

——

与以前所学知识类比，引起认知上的冲突

——

通过对一个讨论题组的研究，巩固研究问题的基本方法

组织探究

——

在讨论和探索中，进一步巩固基本的研究方法，发现探索研究

容易出错之处并引起重视

——

师生交流共同小结，归纳一般方法及易错点，解决课巩固反思

前提出的疑问

——

巩固本节课的知识及方法

课后作业

【教学仪器】电脑，投影仪

【教学过程与操作设计】

【复习回顾】

1.直线与椭圆,双曲线的位置关系：相离，相切，相交三种，那么直线与抛物线的位置关系又如何？

【设计意图】

与直线和椭圆，双曲线的位置关系进行类比，引起学生认知上的冲突

（1）位置关系的判定：（代数法）（师生讨论）

联立直线l:ykx和m抛物线y22px(p0)消y整理得：22

mk2x2(km)px0当a0时

0直线与抛物线相交，有两个不同公共交点

0直线与抛物线相切，只有一个公共交点

直线和抛物线的位置关系

1

0直线与抛物线相离，没有公共交点

当a0时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切

【例题讲解】

题型一：交点个数问题

例1.

已知抛物线的方程为y24x,直线l过定点P(2,1),斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线y24x:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?

变式练习：

1已知直线l：ykx1和抛物线y28x

（1）若直线l与抛物线有两个公共点，求k的取值范围

（2）若直线l与抛物线只有一个公共点，求k的取值范围

（3）若直线l与抛物线没有公共点，求k的取值范围

2抛物线C:y24x，直线L过点P(0,1)，

若L与C只有一个公共点，求直线L的方程。

（答案：x0或y1或yx1

）

题型二：弦长问题 1借助直线与椭圆，双曲线的弦长推出直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB1k2(x1x2)24x1x2或AB1解题时结合韦达定理来处理问题

2.焦点弦问题：

p设过抛物线y22px(p0)的焦点F(,0)的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x1,y1)，

212(yy)4y1y2，特别注意122k则有ABx1x2p

直线和抛物线的位置关系

2

例2.过抛物线y24x的焦点作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B两点，则线段AB的长是多少？（答案：6）

变式练习：1已知抛物线y24x截直线y2xb所得的弦AB的长为35，P是其对称轴上一点，若S△PAB=39，求P点的坐标。 P（15，0）或（-11，0）

2过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离．

【归纳小结】

1. 直线与抛物线的位置关系：

①一个公共点: 相切或相交(与对称轴重合或平行) ②无公共点(相离): 最值问题 (平行直线系或转化为函数最值) ③两个公共点: 相交(弦长公式、焦点弦） 2. 类比、数形结合、转化、分类讨论的思想 3.提出问题、解决问题的能力，以及归纳概括的能力

【课后练习】

1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆x2y24相交的公共弦长等于23，求此抛物线的方程。

x2y22.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆221(ab0)的一个ab焦点F，且垂直于椭圆两焦点所在直线，已知抛物线与椭圆的一个交点为226M(,)，求椭圆和抛物线的方程。

333. 过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线

（ ）

A．有且仅有一条

B．有且仅有两条 C．有无数条

D．不存在

直线和抛物线的位置关系

3

4. 已知抛物线y22px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y2x,求抛物线的方程. x2a25. 抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线y2b2=1（a＞0,b＞0）的一个焦点，并26，求抛物线与双曲3与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为,线方程. 6. 顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线2xy40所得的弦长为35，求抛物线的方程。 （y24x或y236x）

[设计后记]

1．本节课的设计紧扣解析几何用代数方法研究几何问题的本质，数形结合，以形助数，来研究直线与抛物线的位置关系，确切地说是它们公共点的个数．以及弦长问题，通过对基本方法的巩固教学，使学生能把学习知识、应用知识、探索发现和培养良好的科学态度、思维品质更好的结合起来，熟练掌握位置关系的判断方法．在教学及探索过程中，利用几何画板等多媒体工具，使学生进一步体会以形助数的思想，激发学生的学习兴趣，培养学生的运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题、思考问题，分析问题，进一步提高他们分析和解决问题的能力．

2．在进行具体的教学时，还应该注意以下几点：

（1）在探索的过程中，注意突出用代数方法研究的思想，几何方法为辅．

（2）在巩固方法的同时，让学生自己发现容易出错或忽略的地方，以便引起足够的重视．

直线和抛物线的位置关系

4