复习参考题第一课时导学案

圆锥曲线

一、椭圆：

1、椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。

2a|MF1|MF2F1F22c,a2b2c2

注意：2a|F1F2|表示椭圆；2a|F1F2|表示线段F1F2；2a|F1F2|没有轨迹；

2、椭圆的标准方程、图象及几何性质：（焦点在分母大的轴上）

中心在原点，焦点在x轴上

中心在原点，焦点在y轴上

标准方程

x2y2y2x2a2b21(ab0)

a2b21(ab0)

By 2 Py

B2 x P

F2 图

形

A1 FO FA2 A1 1 2 O A2 x B1

F1 B1

顶

点

AB1(a,0),BA2(a,0)1(0,b),2(0,b)

AB1((0,b,0a),),AB2(b,0)12(0,a)

对称轴

x轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a

焦

点

F1(c,0),F2(c,0)

F1(0,c),F2(0,c)

焦

距

|F1F2|2c(c0)

c2a2b2

离心率

eca(0e1)（离心率越大，椭圆越扁）[来源学+科+网Z+X+X+K]

二、双曲线：

1、双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹。

2a|MF1|MF2F1F22c,c2a2b2

1 注意：|PF1||PF2|2a与|PF2||PF1|2a（2a|F1F2|）表示双曲线的一支。

2a|F1F2|表示两条射线；2a|F1F2|没有轨迹；

3、双曲线的标准方程、图象及几何性质：（焦点在系数正的轴上）

中心在原点，焦点在x轴上

中心在原点，焦点在y轴上

标准方程

x2y2y2x2a2b21(ab0)

a2b21(ab0)

P

y F2 Py

形

x B2 图

F1 A1 O A2 F2 O x B1

F1

顶

点

A1(a,0),A2(a,0)

B1(0,a),B2(0,a)

对称轴

x轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a

焦

点

F1(c,0),F2(c,0)

F1(0,c),F2(0,c)

焦

距

|F1F2|2c(c0)

c2a2b2

离心率

eca(e1)（离心率越大，开口越大）

渐近线

ybax

yabx

4、双曲线的渐近线：

x2y2ab可令其右边的1为0，即得x2y2①求双曲线221的渐近线，a2b20，因式分解得到。

x2y2x2②与双曲线y2a2b21共渐近线的双曲线系方程是a2b2；

5、等轴双曲线为x2y2，其离心率为2

三、抛物线：

（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹。

其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。|MF|M到l的距离

（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：p0（焦点一次项的轴上，为系数的14）

焦点在x轴上，

焦点在x轴上，

焦点在y轴上，

焦点在y轴上，

开口向右

开口向左

开口向上

开口向下

标准方程

y22px

y22px

x22py

x22py

l

y P

P

y l

y l

y 图

形

x x PO

x O F

F

O F

x O PF

l

顶

点

O(0,0)

对称轴

x轴

y轴

焦

点

F(p2,0)

F(p2,0)

F(0,p2)

F(0,p2)

准

线

xp2

xp2

yp2

yp2

焦半径

|PF||x|p0|PF||yp2

0|2

四、轨迹方程的求法：

1、直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程。

2、定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则根据定义直接求出动点的轨迹方程。

3、相关点法（代人法）：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的；如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。

2 五、直线与圆锥曲线的位置关系：

联立直线与圆锥曲线构成方程组；消元得到一个一元二次方程，关于x(或y)的一元二次方程形式：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．

1、利用判断位置关系。（要注意考虑二次项系数为零，思考此时几何意义），也通过图形进行讨论。（要注意的是：与对称轴、渐近线平行的情况）

2、韦达定理：x2b1，x2是axbxc0的两个根x1x2a,xxc12a

弦长|AB|1k2|x1AxB|1k2|yAyB|

六、圆部分

1、圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)；圆心(a,b)，半径为r；

2、圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)；圆心(DE2,2)，半径为1D2E224F；[来源学科网ZXXK]

3、直线与圆的位置关系：圆心C到直线l的距离为d，则它们的位置关系如下：

相离dr0；相切dr0；相交dr0；

圆C上的一点P到直线l的距离的最大值为dr

4、两圆的位置关系：设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2

①两圆外离|O1O2|r1r2；

②两圆外切|O1O2|r1r2；

③两圆相交|r2r1||O1O2|r1r2；

④两圆内切|O1O2||r2r1|；

⑤两圆内含|O1O2||r2r1|；

5、弦长的求法：

当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有：AB2r2d2；

当圆和圆相交时，两式相减，得到公共弦所在直线的方程，再利用直线与圆的弦长公式求弦长。

七、直线

1、直线的倾斜角和斜率: (1)、直线的倾斜角：直线向上的方向和x轴非负半轴所成的角，0o180o；

(2)、直线的斜率：倾斜角不是90o的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，ktan

(3)、斜率计算公式：

A(x1,y1)和B(xtany1y22,y2)，kABx(x1x2)

1x22、直线的方程: (1)、点斜式：过已知点(x0,y0)，且斜率为k的直线方程：yy0k(xx0)；

注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx0；

(2)、斜截式：若已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程：ykxb；

注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

3、两直线的位置关系：

①l1//l2两条直线的斜率都不存在，或k1k2，且直线不重合

②l1l2一条直线斜率不存在，一条直线的斜率为0，或k1k21 ③与l:AxByC0平行的直线为AxByC'0；

④与l:AxByC0垂直的直线为BxAyC'0；

4、点到直线的距离公式：

设点P(x0,y0)和直线l:AxByC0，点P到l的距离为：d|Ax0By0C|A2B2；

两平行线l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的距离为：d|C1C2|A2B2；

注意：推广到过曲线f1(x,y)0与f2(x,y)0的交点的方程为：f1(x)f(x2)0；

5、对称问题：

①点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A(a,b)关于C(c,d)的对称点(2ca,2db)

②点关于直线对称：

构建方程组：点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。

例1、已知圆C经过点A(1,0)和B(3,0)，且圆心在直线xy0上．

（1）求圆C的方程；

（2）若点P(x,y)为圆C上任意一点，求点P到直线x2y40的距离的最大值和最小值．

（1）法一、AB的中点为(1,0)，kAB0，AB的垂直平分线为：x1

xy0x1圆心C(1,1)

rCA(11)2x1y1(01)25

圆C的方程：(x1)2(y1)25

法二、设圆C的方程：(xa)2(yb)2r2

圆心C(a,b)

半径

r

(1a)2(0b)2r2a1(3a)2(0b)2r2b1

圆C的方程：(x1)2(y1)25

ab0r5（2）圆心C到直线x2y40的距离d121475551222

圆C与直线相离

点P到直线x2y40的距离的最大值为dr1255

点P到直线x2y40的距离的最小值为dr255

例2、已知一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（3,0）,且过点D（2,0）.

3

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设点A（1，12），若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程. (1)由已知得椭圆的半长轴a2，半焦距c3，则半短轴b1. x轴上, ∴椭圆的标准方程为x2又椭圆的焦点在4y21. (2)设线段PA的中点为M（x,y） ,点P的坐标是（x0,y0），

xx012x02x1由（2x1）21y1，得1，

由点P在椭圆上,（2y）21, 0y2y得04222y2∴线段PA中点M的轨迹方程是（x1212）4（y4）21.

2例3、已知椭圆E：x2a2yb21a

0,b

0的离心率

e32，并且经过定点 (P3,12)

（1）求椭圆

E 的方程；

（2）问是否存在直线yxm，使直线与椭圆交于

A, B 两点，满足OAOB,若存在求

m 值，若不存在说明理由．

（1）由题意：eca32且31b1，又c2a2a242b2

解得：a24,b21，即：椭圆E的方程为x24y21

（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)

x2y21x24(mx)2405x28mx4m240

（*）

4yxm所以x8m4m21x25,xx4125

yy(mxmx228224m4m24121)(2)mm(x1x2)x1x2m5m55

由OAOBOAOB0x1x2y1y20

即4m245m2450,m2105

又方程（*）要有两个不等实根，(8m)245(4m24)0,5m5

m的值符合上面条件，所以m2105

例4、已知动点Px,y

(其中x0)到y轴的距离比它到点F1,0的距离少1. （1）求动点P的轨迹方程；

（2）若直线l:y2x2与动点P的轨迹交于A、B两点，求OAB的面积. （1）易知点P的轨迹为抛物线

抛物线的方程为y24x，准线方程为x1

（2）抛物线焦点坐标为F(1,0)，所以直线l:y2x2

设点Ax1,y1,Bx2,y2

联立y2x24x212x40y4x，即x22 得：3x10

则由韦达定理有：x1x23,x1x21

则弦长|AB|5|x1x2|5(x1x2)24x1x25945 原点O(0,0)到直线l的距离d255 故S1FAB2|AB|d5 4