3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教案和学案内容

3．1直线的倾斜角和斜率

【课题】：3.1.1倾斜角和斜率

【学情分析】：（适用于平行班）

通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．

【教学目标】：

1、理解直线的倾斜角和斜率的定义；掌握斜率公式，并会求直线的倾斜角和斜率. 2、通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力

王新敞3、帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神

王新敞【教学重点】：本节的重点是直线的倾斜角与斜率的概念和斜率公式

【教学难点】：对斜率概念的理解与过两点的直线的斜率公式的建立．.

【教学突破点】：为什么要用倾斜角的正切定义斜率？要解决这些问题，可引导学生联想工程问题中的“坡

度”问题，以及三角函数的定义

【教法、学法设计】：设计为启发、引导、探究、归纳总结的教学模式。学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、小结．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、归纳中完成的．在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展。教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，归纳总结。

【课前准备】：多媒体课件

【教学过程设计】：

教学环节

一、复习引入

二、探究新知

教学活动

【问题1】在平面几何中，如何确定一条直线？(两点确定一条直线)

【问题2】一点能确定一条直线的位置吗？（经过一点有无数条直线）

【问题3】经过一点有无数条直线，他们的区别在哪里？（倾斜程度不同）

【问题4】怎样描述直线的倾斜程度呢？（引入新课）

设计意图

为探索新知识做准备. 1、直线倾斜角定义

鼓励学生自己寻找【板书】定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把画出不同直线的倾x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那斜程度，积极用自己的语言概括，引么就叫做直线l的倾斜角． 导学生转向对直线特别地，当l与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．

由此定义，角的范围如何？（0°≤α＜180°或0≤α＜π）

l的倾斜角的探索

教师强调三点：，（1）

轴的正方向，（2）最小正角，（3）分类思想

通过对直线l的倾斜角的探讨，拓展学生的思维.

【归纳】在平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且

倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不

相等；因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜

程度。

2、直线斜率的定义

【问题2.1】除两点确定一条直线，现在还有什么几何要素可以确定平面

直角坐标系中一条直线的位置呢？(直线上的一点以及它的倾斜角，二者

缺一不可) 引导学生寻找表示【问题2.2】日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？

倾斜程度的另外的学生回忆联想：启发学生可联想到工程问题中的“坡度”，及三角函数的量――“坡度”――

定义

直线的斜率

【板书】定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直

线的斜率。记作

，即ktan

。

；【讨论】当倾斜角90时，直线的斜率不存在

当[0,90)时，k[0,）;当（90，180）时，k（，0）。强调ktan定义域与值域的对应关系，及函数的单调性。

【归纳】倾斜角不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同，因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。

例1：关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：

及时巩固概念，培

（1）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率

（

）；

养技能

. （2）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；

（

）

（3）平行于x轴的直线的倾斜角是0或180；

（

）

三、练习巩固

（4）两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.（

）

（5）直线斜率的范围是(－∞，＋∞).

（

）

辨析：上述说法中，（5）正确，其余均错误，原因是：（1）与x轴垂直

的直线倾斜角为90，但斜率不存在；（2）.举反例说明，120°＞30°，

3tan120＝－3＜tan30（3）平行x轴的直线的倾斜角为0；

3

（4）.如果两直线的倾斜角都是90，斜率不存在

也就谈不上相等。

说明：①当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是[0,180)；③倾斜角是90°的直线没有斜率.。

④坐标平面内，每一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有斜

率。

本例题是用来复习例2：

如图，直线l1的倾斜角1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率。

巩固直线的倾斜角分析：对于直线l1的斜率，可通过计算tan30直接获得，而直线l2的斜率则需要先求出倾斜角2，而根据平面几何知识，

后再求tan2即可。

0和斜率以及它们之间的关系的，可由2190，然0学生课堂练习，学生演板．

3解：l1的斜率k1＝tan1＝tan30°＝，

3∵l2的倾斜角2＝90°＋30°＝120°，

∴l2的斜率k2＝tan120°＝tan（180°－60°） ＝－tan60°＝3。

yl2

l12x1O评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定。

四、探究新知

3、直线过两点斜率公式的推导

【问题3.1】如果给定直线的倾斜角90，我们当然可以根据斜率的定义

＝tanα求出直线的斜率；如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？

即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，求直线P1P2的斜率。

思路分析：首先由学生提出思路，教师启发、引导，

运用正切定义，解决问题。

(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标）

(2)角α是“标准位置”吗？（不是）

(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量p1p2，使P1与原点重合，得到新向量op）

(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1）

(5)直线的斜率是多少？ktany2y1(x1x2)； x1= x2？

x2x1引导学会探究：既然给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，那么又怎么求出直线的斜率

6)如果P1 和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）还有没有其它推导方法？

评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1 P2不垂直x轴．因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角。

【问题3.2】当直线P1 P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么?（成立且k＝0）

【问题3.3】】当直线P1 P2与y轴平行或重合时，上述式子还适用吗？为什么?（不适用，斜率不存在）

【问题3.4】斜率公式ktany2y1(x1x2)与P1(x1，y1)、P2(x2，x2x1y2) 两点坐标的顺序有关吗？（没有）

【归纳】对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到．

4、巩固练习

1.求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角：

(1)C(4，8)，D(4，-4)；

五、练习巩固

及时巩固公式，培养技能.

解：(1)k不存在

，

α=90°

(3)k=1，α=45°．

2．已知：a、b、c是两两不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角：(1)A(a，c)，(b，c)；(2)C(a，b)，D(a，c)；(3)P(b，b+c)，Q(a，c+a)．

解：(1)α=0°；(2)α=90°；(3)α=45°．

3. 画出经过点（0，2），且斜率分别为2与－2的直线

六．作业

p89习题3.1第2.3.4题

参考题: 一.

选择题

1.直线的倾斜角的取值范围是(

) 000,180A.é)

B. êë000000éé轾0,3600,900,180

C.

D.))êê犏ëë臌(900,1800)

2.直线的斜率的取值范围是(

) 骣p鼢骣p珑A.

R

B . 珑-?,鼢,?珑桫2鼢桫2

C.

(-?,0)(0,?)

D. [0,p)

3.若直线x=1的倾斜角为q,则q(

) A.等于0

B. 等于pp

C.

等于

D.不存在

424.若A(2,23),B-1,33

,则直线AB的倾斜角为(

) ()p2pp5p

B.

C. -

D.

36633p5.若直线l经过A(2,3),B(-3,m),

它的倾斜角为,则m的值为(

) 4A.

A. -2

B. 4

C. 8

D.

2 6.已知直线l经过A(2,1) , B(1,m)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围是(

) A.[0,p)

B.犏0,2轾p犏臌4骣轾p轹p÷pp鼢ç犏ê

C.

D.,p0,,鼢÷ç÷鼢ç犏ê桫2臌4ë42骣pç,p

çç2二

.填空题

7. 直线l的斜率为k,且k<0,则l的倾斜角q的取值范围是_______

8.若直线l1的倾斜角为60,l1^l2,则直线l2的倾斜角为______. 9.若A(2,-1),

B(-4,-3),

C(-2,m),

点C在直线AB上,则m的值为________. 10.已知点A(-3,1),点B在y轴上,若直线AB的倾斜角为120,则B点的坐标是_______ 三.解答题

11. 直线l1的倾斜角1＝150°，直线l1⊥l2，求l2的斜率。

12.

已知直线l1的倾斜角1，直线l1⊥l2，求l2的斜率及倾斜角。

答案:1.A

2.A

3.C

4.D

5.C

6.B 00

7.çç骣p7ç桫2,p÷÷÷

8.1500

9.-3

11.3

12. 倾斜角是：1+p2或p1-2

斜率是:

-cot1或-cot1

10.(0,-2)