1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教案设计范例

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1.3.1.1

柱体、锥体、台体的表面积

[学习要求] 1．通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法；

2．了解柱、锥、台体的表面积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题；

3．培养空间想象能力和思维能力．

1．棱柱、棱锥、棱台是由多个

围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积的

．

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是

、

、

．

3．旋转体的表名称

图形

公式

面积

底面积：S底＝

圆柱

侧面积：S侧＝

表面积：S＝2πr(r＋l)

底面积：S底＝

圆锥

侧面积：S侧＝

表面积：S＝

上底面面积：S上底＝

下底面面积：S下底＝

圆台

侧面积：S侧＝

表面积：S＝

[问题情境] 已知ABB1A1是圆柱的轴截面，AA1＝a，AB＝b，P是BB1的中点；一小虫沿圆柱的侧面从A1爬到P，如何求小虫爬过的最短路程？要解决这个问题需要将圆柱的侧面展开，本节我们将借助几何体的侧面展开图来研究几何体的表面积．

探究点一

棱柱、棱锥、棱台的表面积

问题1

在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系吗？

问题2

几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，棱柱，棱锥，棱台的侧面

展开图是怎样的？如何求棱柱，棱锥，棱台的表面积？

例1

已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC，求它的表面积．

跟踪训练1

已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S—ABCD，求它的表面积．

例2

已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．

跟踪训练2

在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？

探究点二

圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法

问题1

如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？

问题2

如何根据圆锥的展开图，求圆锥的表面积？

问题3

如何根据圆台的展开图，求圆台的表面积？

问题4

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？

例3

一圆台形花盆，盆口直径20 cm，盆底直径15 cm，底部渗水圆孔直径1.5 cm，盆壁长15 cm.为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆？(π取3.14，结果精确到1 mL)

跟踪训练3

圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π)

1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的

面积．

2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．

3．S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．

一、基础过关

1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为

842A．8

B.π

C.π

D.π

2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为(

) 1＋2π1＋4π1＋2π1＋4πA.2π

B.4π

C.π

D.2π

3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于

(

)

A．6

B．6π

C．35π

4．三视图如图所示的几何体的全面积是

D．65π

(

) 113A．7＋2

B.2＋2 C．7＋3

D.2

5．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．

6．一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示(单位：cm)，则该组合体的表面积为________cm2.

7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．

8．长方体ABCD—A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，求其路程的最小值．

二、能力提升

9．已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于

(

) A．11∶8

B．3∶8

C．8∶3

D．13∶8 10．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为

(

)

A．372

B．360

C．292

D．280 11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．

12．有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．

三、探究与拓展

13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．

课后作业参考答案

1．B

2．A

3．C

4.A

5.60°

6.12 800

7.2 8．解

把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC1的长分别为90、74、80.

由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为74. 9．A

10．B

11．38 12．解

把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)，由题意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．

AC＝AB2＋BC2＝5π cm，

故铁丝的最短长度为5π cm.

13．解

易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1. 考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．

∴S表＝2S下＋S侧

＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36. ∴该几何体的表面积为36.