小结国家优质课一等奖

法向量在立体几何中的应用

高中数学新教材中引进了空间向量的概念和知识,拓宽了解答立体几何问题的思路和方法.对于一些特殊的图形,如正方体、长方体、正四棱柱、直三棱柱、正三棱锥、正四棱锥以及其它特殊图形等,通过建立空间直角坐标系,应用空间向量的知识和方法,可以使解决几何问题数量化、程序化,同时,可以又减少辅助线的条数和辅助面的个数,充分显示了空间向量在立体几何中的强有力的工具作用. 1 法向量的概念

如果直线l与平面垂直,在直线l取向量a,就说a垂直于平面,记作a,于是把向量a叫做平面的法向量. 2 法向量的应用

2.1 求异面直线的夹角

设为异面直线l1,

l2的夹角,在直线l1,

l2分别取向量n1, n2,则

cosn1n2n1n2

2.2 求异面直线间的距离(点到平面的距离)

如图1,点P在平面外, PO垂直平面于O点,PA是

平面的的斜线,斜足为A点. 平面的法向量为n(与OP共线), 线面角为,直线AP、OP的

夹角为,P点到平面的距离

图1

为d,则cosAPnAPn

APnAPnAPnn

∴

d=OPAPcosAP2.3 求线面角

如图1所示, sincos2.4 求二面角的平面角

APn

APn

设二面角-l-的平面角为,向量n1, n2分别为平面,

的法向量,则

cosn1n2n1n2

其中, 为锐角时取“+”号；

为钝角时取“-”号.

另外,还可以应用法向量的

知识证明线面平行、线面垂直、

图2

面面垂直,方法非常简单,这里从略. 3 应用举例

例1 (2007年高考全国卷Ⅱ理科19题) 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点

(1)求证：EF∥平面SAD; (2)设SD = 2CD，求二面角A-EF-D的大小. 解: (1) 以D为原点,分别以向量DA,DC,DS的正方向为x轴、y轴、

z轴的非负半轴,建立空间直角坐

标系,如图2所示. 设DA=2,则

A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、

D(0,0,0)、S(0,0,4),于是

E(2,1,0)、F(0,1,2).

∴

EF=(-2,

0∵

平面SAD法向量n(0,1,0)

∴

EFn0

又∵EF在平面SAD外

∴

EF平面SAD.

(2) 设平面AEF的法向量为n1(x1,y1,z1)

∵

AE(0,1,0),

EF=(-2,0,2)

zSFDCyAxE图3 B

n1AEy10∴

令z11,得n1(1,0,1)

n1EF-2x12z10设平面DEF的法向量为n2(x2,y2,z2)

∵

DE(2,1,0),

DF=(0,1,2)

n2DE2x2y20∴

令y22,得n2(1,2,1)

n2DFy12z10设二面角A-EF-D的平面角为,则

cosn1n2n1n23323

326∴

arccos. 例2 (2007年高考全国卷Ⅰ理科19题)

如图,四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=22，

SA＝SB＝3. (1)证明：SA⊥BC；

(2)求直线SD与平面SAB 所成角的大小.

解: (1)作AEBC于E点,则

AEBEABcosABE 2cos452zSECDAx图4 B

y

又∵BC=22

∴

BE1BC, 2即E点是BC的中点.

又∵SEASB

∴

SEBSEA90,

即SE是BC的中垂线. 又∵侧面SBC⊥底面ABCD

∴SE面AC. (2) 以E为原点,分别以向量EA,EB,ES的正方向为x轴、y轴、z轴的非负半轴,建立空间直角坐标系,如图4所示. 容易求得SE=1,于是A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),D(2,-22,0),S(0,0,1),E(0,0,0).

设平面SAB的法向量n(x,y,z), ∵

SA(2,0,1),

SB=(0,2,-1)

nSA2x-z0∴

令z2,得n(1,1,2). nSB2y-z0又∵SD(2,22,1)

设直线SD与平面SAB所成的角为,则

sinSDnSDn2222

11114

∴

arcsin22. 11

例3 (由2007年高考全国卷Ⅰ理科19题改编),题意同例2.

求异面直线DC、SA的距离. 解: 建立坐标系同例2. ∵

DC∥AB

∴

DC∥平面SAB 设异面直线DC、SA的距离为d (即D点到平面SAB的距离),则

dSDnn222. 2总之,新教材立体几何有A、B两个版本,高考命题要兼顾两个版本的不同情况, 而B版本中引进了空间向量,对于解答立体几何问题增加了新的思路和方法,因此,加强对空间向量应用方面的研究,无疑对备战高考和提高学生数学成绩都意义重大.