3.2.1 几个常用函数的导数教案2

3.2.1几个常用函数的导数

学习目标

1．回顾导数的定义，明确根据定义求导数的方法；2[来源:学&科&网]

1的导数

x教学重点：导数的定义，明确根据定义求导数的方法

2．根据导数的定义，求函数yc,yx,yx,y教学难点：导数的定义，明确根据定义求导数的方法

教学过程：

一、复习引入： 1.导数的定义：设函数yf(x)在xx0处附近有定义，当自变量在xx0处有增量x时，则函数yf(x)相应地有增量yf(x0x)f(x0)，如果x0时，y与x的比yy（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极xxxx0/限值叫做函数yf(x)在xx0处的导数，记作y，即f(xx)f(x0)f/(x0)lim0

x0x2. 导数的几何意义：是曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为yf(x0)f/(x0)(xx0)

3. 导函数(导数):如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数f/(x), 称这个函数f/(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y/，即f/(x)＝y/＝limyf(xx)f(x)lim

x0xx0xxx0/函数yf(x)在x0处的导数y就是函数yf(x)在开区间(a,b)(x(a,b))＝f/(x0)所以函数yf(x)在x0处的导数也上导数f(x)在x0处的函数值，即y记作f/(x0)

//xx0导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个

函数在给定点的导数，就是求导函数值它们之间的关系是函数yf(x)在点x0处的导数就是导函数f/(x)在点x0的函数值

4.可导:

如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数yf(x)在开区间(a,b)内可导

5. 可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件. 6. 求函数yf(x)的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量yf(xx)f(x)

yf(xx)f(x)

xxy（3）取极限，得导数y/＝f(x)lim

x0x（2）求平均变化率二、讲解新课：

1.

C'0(C为常数) 说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数yC的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0. 证明：yf(x)=C，∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=C－C=0 ∴nyy=0，y=C′=lim=0，∴y=0. x0xxn12.

(x)'nx(nQ) *说明：实际上，此公式对nR都成立，但证明较复杂，所以课本只给出了nN的证明

证明：yf(x)=x

∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=(xx)x

=x+Cnx=Cnx1n1nnnn1n1Δx+Cnx2n22n2(Δx)2+…+Cn(x)－x

nnnnnΔx+Cnx

(Δx)2+…+Cn·(x)

y1n12n2nn1=Cnx+CnxΔx+…+Cn·(x)

x

∴y=(xn)=lim1y

x0xn1=lim（Cnxx0+Cnx2n2Δx+…+Cn·(x)n1)=Cnxn1n1=nxn1

∴y=(xn)'nxn1

3.

(sinx)'cosx

证明方法一：y=sinx，Δy=sin(x+Δx)－sinx=sinxcosΔx+cosxsinΔx－sinx

ysinxcosxcosxsinxsinx

xx∴y=limysinxcosxcosxsinxsinxlim

x0xx0xsinx(cosx1)cosxsinx

x0xxxsin2sinx(2sin2)2xcosx

2limcosxsinx

lim(2sinx)limx0x0x0xxx()242lim=－2sinx·1·0+cosx=cosx

∴y=cosx

证明方法二：ysinx，

ysin(xx)sinx2cos(xx)x(xx)xsin22

xx，

2cosxsin22xyx2，

cosxx2x2sinxsinyx2

∴

y'(sinx)'limlimcosxx0xx02x2xsinx2cox

limcosxlims．

x0x0x22

4.

(cosx)'sinx

证明方法一：y=cosx，

Δy=cos(x+Δx)－cosx=cosxcosΔx－sinxsinΔx－cosx

y=limlimycosxcosxsinxsinxcosx

limx0xx0xcosx(cosx1)sinxsinx

x0xxxsin2cosx(2sin2)2xsinx12limsinxsinx

lim(2cosx)limx0x0x0xxx()2422cosx10sinxsinx

∴y=－sinx

证明方法二：ycosx，

(x)cosx2sin

ycosx

2sinx(xx)x(xx)xsin

22xx，

sin22xsinyx2，

sinxx2x2xsinyx2

∴

y'(cosx)'limlimsinxx0xx02x2xsinx2sinx．

limsinxlimx02x0x2∴y=－sinx. 第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可以直接用

三、讲解范例：

22例1.Q(2,4)是曲线y=x上的两点，(1)求过点P的曲线y=x的切线方程。

已知P(-1,1)，

2(2)求过点Q的曲线y=x的切线方程。

(3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。

2.已知y例x，1)求y;

求曲线在点（2)1，1）处的切线方程.

11练习1：

求双曲线y＝在点(2，)处的切线方程．

x2127练习2：求抛物线y＝x在点(4，)处的切线方程．44例3求过点(1，－1)与曲线y＝x－2x相切的直线方程．

3练习：已知抛物线y＝ax＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．

四、小结

2【学习反思】