二、圆锥曲线的离心率与统一方程教学评价实录

圆锥曲线离心率的求法教学设计

一、教学目标

（1）掌握圆锥曲线离心率求值的几种方法；

（2）掌握几种常见的数学思想方法在解析几何中的应用。

二、教学重难点

重点：圆锥曲线离心率的求法

难点：如何根据已知条件构造关于a,c的齐次等式

三、教学过程

1、创设情境，导入新课

（1）首先通过动画演示，让学生感受到椭圆，双曲线，抛物线这三种圆锥曲线的不同之处在于他们的离心率不同。并进一步通过准备好的视频图像让学生体会。同时将学生平时的错题展现出来，向学生说明离心率在近5年的全国新课标卷中的试题分布，引起学生的重视。

（2）高考中考查离心率试题主要分为两类，一类是根据一定条件求离心率的值，另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围。下面我们来一一展开。

2、知识回顾

复习圆锥曲线中与离心率有关的简单几何性质

3、例题研讨，方法总结

c（1）根据条件先求出a，c，利用e=求解

a22 例1 已知椭圆

x2y4，求椭圆离心率的值.

x2y212解析：椭圆化成标准方程为4由定义知a2,b2

则

2c∴c2

所以离心率e==2 a（2）利用已知条件建立a,c的等量关系

1且垂直于x轴例2 已知

F1,F2

的左、右焦点，过

F的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是直角三角形，求该双曲线离心率的值.

x2y221(a0,b0)2分别是双曲线ab

b2解：由AF2c1F1F2有a即：b22acc2a22ace212ee1222

xy21(ab0)2b

例3 设P点是椭圆

a

上一

点，F1、F2为椭圆的左右焦点，如果F1PF290O，求此椭圆的离心率的取值范围。

解

方法1：设点P的坐标是220022(x0,y0),则

xy1bax2y2c200

x0消去y0得，2a2(c2b2)c2a2(c2b2)0(1)c2222a(cb)a2(2)c2

由(1)得c2b2,即c2a2c2,所以a22c2

c212e2,由（2）知c2b2c2恒成立，又0

2方法2：巧用图形的几何特性

oFFPF901F212由知点P在以2c

为直径的圆上.又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，故有2222

cbcbac2，1）2

由此可得e[挑战高考

x2y2C:221(a0,b0)ab（２０１７全国卷Ｉ）1.已知双曲线

的右顶点为A，以A为MAN60圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若

，233则C的离心率为____

x2y221(ab0)2ab（２０１6全国卷）

已知O为坐标原点，F是椭圆C:的左焦点，PFxA,B分别为C的左右顶点。P为C上一点，且

轴

,.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（

）

A.1123B.C.D.3

2

3

4

四．总结：

1．圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围。

2．一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a，b，c，e的一个方程，就可以从中求出离心率．

3．一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式．

五、作业