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多面体的外接球教学设计

一、

教学目标

知识与技能：在掌握球基本性质的基础上，理解并熟练应用直接法和构造法求多面体的外接球半径。

过程和方法：通过探究正方体、长方体、直棱柱等外接球球心的位置，引导学生根据多面体的特征正确补形，使学生掌握求多面体外接球半径的通法。

情感态度与价值观：使学生感受知识的产生过程，空间问题的解题思路，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学思想。

二、

教学重点、难点

教学重点：根据多面体的特征，应用直接法和构造法求多面体的外接球半径。

教学难点：培养学生敏感的空间想象能力和较强的绘图能力。

三、教学过程

（一）

基本知识回顾

1.球的体积公式： 2.球的表面积公式：

.

3.球与多面体的外接

若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球

4.球的性质

（1）用一个平面去截球，截面是 ；用一个平面去截球面，截线是

（2）大圆截面过

，半径为球的半径；小圆截面不过

（3）球心到截面的距离d与球半径

R，截面半径r的关系为

（4）外接球的球心到多面体的各个顶点的距离

（二）新授课

类型一：直棱柱与球

探究一：若正方体的棱长为a，则正方体的外接球直径＝ 探究二：若长方体的棱长分别为a,b,c则长方体的外接球直径＝ 探究三：若直棱柱存在外接球，探究其球心的位置？

例1.1在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC90,AB3,BC=1，CC123,则它的外接球的表面积为 ,体积为 .

变式1. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=6,则这个三棱锥的外接球表面积为 .

变式2. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=3，AC=2，AA1=6,则这个三棱锥的外接球表面积为 .

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类型二：棱锥与球

探究四：利用长方体（正方体）的顶点，可以得到怎样特点的三棱锥？

例2.1. 已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互相垂直，若PA=PB=PC=a，则这个球的表面积 .

变式1.已知三棱锥P-ABC中，在底面ABC中，A60,B90,BC=3,PA平面ABC,PA=2，则此三棱锥的外接球的体积为 .

变式2.在三棱锥P-ABC中，PABC4,PBAC5,PCAB11,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为 .

。

例2.2

在四面体ABCD中，已知ADBBDCCDA60,AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球半径为 .

（三）课堂总结

1.求直棱柱的外接球半径的方法

（1）先找外接球的球心，它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；

（2）再构造直角三角形，勾股定理求解。

2.求棱锥外接球半径的方法

（1）补形法（适用特殊棱锥）

（2）直接法

（通法）关键是找球心，画出截面图，构造与R有关的直角三角形。

（四）作业布置

1.做2012年-2017年的全国卷中出现的关于多面体的外接球的真题。

2.根据本节课所学，总结多面体外接球问题的有关结论，整理在笔记上。

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