3.4 生活中的优化问题举例优质课教案内容

3.4生活中的优化问题举例

授课者：翁斌博

班级：高二（14）班

时间：2015年3月11日

教学目标：

1、知识与技能：

会利用导数求利润最大、用料最省、容体积最大等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力。

2、过程与方法：

在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识，教师分析讲解，学生动手练习，进而归纳方法。

3、情感、态度与价值观：

在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性。

教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

教学难点：将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题．

教学过程：

一、复习旧知

复习函数的求导、求单调区间、极值和最值。

问：已知函数yx33x，当x[1,2]时，求最值。

二、创设情景、新课引入

问：学习导数到底有什么用，能应用到生活中吗？

引例 不同规格的同一种饮料，对商家而言，哪种利润高？对消费者而言，哪种更实惠？

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

三、师生互动，新课讲解

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要介绍以下几个方面：

1、与体积容积有关的最值问题；

2、与制作材料有关的最值问题；

3、与利润有关的最值问题。

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例1

在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去四个边长均为相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，高是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

方法点评：在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．

例2

要生产某铁皮长方体黑板擦外壳（共5个面），要求外壳体积为144 cm，外壳长是宽的3倍，请问，如何设计外壳的长、宽和高可使制作耗费的铁皮最少？

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方法点评

当要求的最大（小）值的变量y与几个变量相关时，先设几个变量中的一个为x，然后再根据条件用x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f（x）．

例3

某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为p2420012x，且生产x吨的成本为R=50000+200x元。问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达5到最大？最大利润是多少？（利润=收入－成本）。

随堂练习

某种圆柱形的饮料罐的容积为250,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?（即表面积最小）

解决优化问题的方法：1、分析问题中各个变量之间的关系2、建立适当的函数关系3、确定函数的定义域4、在定义内求函数的最值。

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三、课堂小结，巩固反思：

解决优化问题的方法：1、分析问题中各个变量之间的关系2、建立适当的函数关系3、确定函数的定义域4、在定义内求函数的最值。

解决优化问题需注意：1、如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值．不必再与端点的函数值进行比较；2、当要求的变量有多个时，先设其中一个为x，然后借助题目条件，将其他变量用x来表示。

四．布置作业

1、（必做）如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个

角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方

形的边长为多少时，盒子容积最大？

2、（选做）用总长14.8的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的长比宽多0.5m，那么长、宽、高分别是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

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