1.2.3 空间几何体的直观图教学实录

学案设计 第一章

空间几何体

1.2

空间几何体的三视图和直观图

1.2.3

空间几何体的直观图

学习目标

通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图,提高学生画图和识图的能力,培养学生的探究精神和意识,增强学生的空间立体意识,以及转化与化归的数学思想方法,为后续课程的学习打好基础.

学习过程

一、提出问题,引起联想

问题1:我们如何画一个水平放置的正六边形的直观图呢?

根据上图,写出其画法的步骤: (1)

.

(2)

.

(3)

.

二、典型例题,跟踪练习

【例1】梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4

cm,CD=2

cm,∠DAB=30°,AD=3

cm,试画出它的直观图.

问题2:请同学们用斜二测画法画水平放置的圆的直观图.

【例2】请同学们用斜二测画法画出长、宽、高分别是4

cm、3

cm、2

cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.

问题3:已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

学案设计

三、作业精选,巩固提高

1.利用斜二测画法画直观图时: ①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图是菱形.

以上结论中,正确的是

.

2.如图,△A'B'C'是△ABC的直观图,那么△ABC是(

) A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.钝角三角形

3.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则该平面图形的面积等于(

) A.

B.1+

C.1+

D.2+

4.如图,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(

)

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

5.如图所示,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

课堂小结

学案设计 1.平面图形的直观图画法

(1)在平面图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们分别画成对应的x'轴与y'轴,两轴交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.

(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度变为原来的一半.

(4)连接各个顶点,然后擦除辅助线即可.

2.立体图形的直观图画法

(1)在已知图形所在的空间中取水平面,作互相垂直的轴Ox,Oy,再作Oz轴,使∠xOy=90°,∠yOz=90°; (2)画出与Ox,Oy,Oz对应的轴O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'=45°,∠y'O'z'=90°,x'O'y'所确定的平面表示水平面; (3)已知图形中,平行于x轴、y轴和z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴和z'轴的线段,并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同; (4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段,长度变为原来的一半; (5)擦除作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图.

布置作业

课本P20习题1.2A组第5,6题.

参考答案

问题1:

(1)如图①,在正六边形ABCDEF中,取AD所在直线为x轴,对称轴MN所在直线为y轴,两轴相交于点O,在图②中,画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.

(2)在图②中,以O'为中点,在x'轴上取A'D'=AD,在y'轴上取M'N'=MN,以点N'为中点画B'C'平行于x'轴,并且等于BC;再以M'为中点画E'F'平行于x'轴,并且等于EF.

(3)连接A'B',C'D',D'E',F'A',并擦去辅助线以及x'轴和y'轴,便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F',如图③.

二、【例1】

解:(1)如图①所示,在梯形ABCD中,以边AB所在的直线为x轴,点A为原点,建立平面直角坐标系xAy.如图②所示,画出对应的x'轴,y'轴,使∠x'A'y'=45°.

(2)如图①所示,过D点作DE⊥x轴,垂足为E,在图②中,在x'轴上取A'B'=AB=4

cm,A'E'=AE=

cm

≈2.60

cm;过E'作E'D'∥y'轴,使E'D'=

ED,再过点D'作D'C'∥x'轴,且使D'C'=CD=2

cm;

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(3)连接A'D',B'C',C'D',并擦去x'轴与y'轴及其它一些辅助线,如图③所示,则四边形A'B'C'D'就是所求作的直观图.

问题2:

(1)在☉O上取互相垂直的直径AB,CD,分别以它们所在的直线为x轴与y轴,将线段AB n等份,过各分点分别作y轴的平行线,交☉O于E,F,G,H,…,画对应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°.

(2)以O'为中点,在x'轴上取A'B'=AB,在y'轴上取C'D'=

CD,将A'B' n等分,分别以这些分点为中点,画与y'轴平行的线段E'F',G'H',…,使E'F'=

EF,G'H'=

GH,…

(3)用光滑曲线顺次连接A',…,D',F',H',…,B',G',E',C',…,A'并擦去辅助线,得到圆的水平放置的直观图.

【例2】

解:(1)如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.

(2)以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=4

cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=

cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.

(3)过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2

cm长的线段AA',BB',CC',DD'.

(4)顺次连接A',B',C',D',并加以整理,就得到长方体的直观图.

问题3:

解:(1)如图①,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.

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(2)画出底面☉O,在z轴上截取O',使OO'等于三视图中相应高度,过O'作Ox的平行线O'x',Oy的平行线O'y',利用O'x'与O'y'画出底面☉O'.

(3)在Oz上截取点P,使PO'等于三视图中相应的高度.

(4)连接PA',PB',A'A,B'B,整理得到三视图表示的几何体的直观图如图②.

三、答案:1.①②

2.B

3.D

4.D 5.解:(1)作出长方体的直观图ABCD-A1B1C1D1,如图①所示.

(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立空间直角坐标系,如图②所示,在z'上取点V',使得V'O'的长度为棱锥的高,连接V'A1,V'B1,V'C1,V'D1得到四棱锥的直观图,如图②.

(3)擦去辅助线和坐标轴,遮住部分用虚线表示,得到该几何体的直观图,如图③.