3.1.2 空间向量的数乘运算第二课时教学实录

§3.1.2空间向量的数乘运算

【教学目标】：

（1）知识与技能：掌握空间向量的数乘运算

（2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题

（3）情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题

【教学重点】：

空间向量的数乘运算及运算律

【教学难点】：

用向量解决立几问题

【教学过程设计】：

教学教学活动

环节

1、空间向量的数乘运算a，其模长是a的||倍

（1）当0时，a与a同向

（2）当0时，a与a反向

一．2、空间向量的数乘分配律和结合律

温故（1）分配律：(ab)ab

知新

（2）结合律：(a)()a

3、共线向量或平形向量

类似于平面向量共线，对空间任意两个向量a,b(b0)，a//b的充要条件是存在

1 设计意图

以数乘向量及其运算律为突破口，与平面向量进行比较学习，为下面引出共面向量作铺垫。

实数，使ab

1、方向向量

如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对于任意一点lAaBP

O

O，点P在直线l上的充要条件是存在实方向向量的引入是为了更好数t满足等式

OPOAta．其中向量a的说明三点共线的向量充要条件，作为特色班，可以根据实际情况补充证明过程。

叫做直线l的方向向量. 在l上取ABa，则上式可化为二．OPOAtAB

对于空间内任意一点O，A,B,P三

新课证明：讲授

点共线

tR,使APtAB

OP-OAtAB

OPOAtAB

由此可见，可以利用向量之间的关

系判断空间任意三点共线，这与利用平

面向量判断平面内三点共线是一样的。

回顾平面向量的基本定理：

共面向量定理 如果两个向量a,b不共

线，那么向量p与向量a,b共面的充要条

件是存在有序实数组(x,y)，使得

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pxyb，这就是说，向量p可以由不

共线的两个向量a,b线性表示。

由此可以得到空间向量共面的证明方法

回顾平面向量的基本定理可2、空间平面ABC的向量表示式

空间一点P位CbAaBPp以发现，平面中的基底理论成了空间向量关系的一种特殊情况——共面的证明方法，这正是由特殊到一般，O于平面ABC内的充要条件是存在有序实由简单到复杂的一种推广，数对x，y使得：APxAByAC，或对对今后理解空间向量的基底空间任意一点O有：

理论也是有一定辐射作用OPOAxAByAC。

的。

推论：已知空间任意一点O和不共线的本探究可以在老师的启发三点A，B，C，则点P与点A，B，C共下，给学生自己证明，不同

面的充要条件是

层次可以酌情考虑是否证OPxOAyOBzOC(其中xyz1)

明。

证明：略

例1．一直平行四边形ABCD，过平面AC外一点O做射线OA，OB，OC，OD，在四三．条射线上分别取点E，F，G，H，且使典例讲练

OEOFOGOHk，

OAOBOCOD

求证：E，F，G，H四点共面

分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需

3

证明EH，EF，EG共面。下面我们利用AD，AB，AC共面来证明。

证明：因为以

OEOFOGOHk，所OAOBOCODOEkOA，OFkOB，OGkOC，OHkOD，由于四边形ABCD是平行四边形，所以ACABAD，因此，EGOGOE

kOCkOAkACk(ABAD)

k(OBOAODOA)OFOEOHOE

EFEH

由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面

进一步：请学生思考如何证明：面AC//面EG 1、如图，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F分别是巩固知识，注意向量运算律BC，CD的中点，化简四．下列各表达式，并标出练习化简结果的向量。

巩固

（1）ABBCCD

121（3）AF(ABAC)

2EGEBBF的使用. 3、略解：（1）1EGEFFGEFBDEFEH2

（2）（2）AB(BDBC)

111ABBCAC

222

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2、课本P89练习2-3 3、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD得EF∥AC，AC平面EFGH，

的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方则AC∥平面EFGH 法证明（1）E、F、G、H四点共面（2）AC∥平面EFGH 1．空间向量的数乘运算

五．2．空间向量的运算意义和运算律解决立归纳知识反思方法，特点。

小结

几问题

3．平面的向量表达式解决共面问题

六．课本P97习题3.1，A组

第1题（3）、

作业

（4），第2题

练习与测试：

（基础题）

1．

已知空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：

（1）ABBCCD； AD

1（2）AB(BDBC)； AG

21（3）AG(ABAC)．MG

2BMCGDA（中等题）

2、在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、D1C、是（ ）

A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量

3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CAa,CBb,CC1C,则A1B（ ）

A．abc B．abc C．abc D．abc

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