3.4 生活中的优化问题举例教学实录

课题：

选修1-1：3.4生活中的优化问题举例（第1课时）

教学目标：

一、知识与技能：

1．研究与几何有关的面积、体积的优化问题，体会导数在解决实际问题中的工具作用；

2．提高将实际问题转化为数学问题的能力，体会数学建模思想，形成求解优化问题的思路和方法。

二、过程与方法：

通过学习解决优化问题的方法，体会数学建模的方法和导数在解决实际问题中的作用，体现导数的工具性。

三、情感态度与价值观：

通过对生活中优化问题的探究过程，感受数学的应用价值，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，提高学习数学的兴趣，提高学生将实际问题转化为数学问题的能力。

教学重难点：

重点：利用导数知识解决一些生活中简单的优化问题。

难点：能对生活中简单几何类的优化问题建立数学模型，理解导数在解决实际问题中的作用。

教学过程：

一、复习回顾

(一)、如何判断函数的单调性？

（二）、如何求函数的极值与最值？

1.求函数极值的一般步骤

2.求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：

引入导数这个工具，我们获得了更方便地解决函数的单调性和处理函数的最值问题的方法，今天我们一起研究导数在研究实际问题的作用。

二、导入新课

问题背景（饮料瓶大小对饮料公司利润的影响）：下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则

（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？

（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？

这涉及到商品造价与成本、利润最大问题。生活中经常遇到求利润最大、产量最大、用料最省、成本最低、效率最高等实际问题，这些问题通常称为优化问题。对于制造商而言，究竟是多制造哪种规格的产品可获得更大利润，学完今天的内容后，大家可尝试去分析这个问题。

1

三、

例题讲解

【例1】海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要2求版心面积为128dm，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

【学生思考】请带着以下问题去分析这道题：

思考1：版心面积为定值128dm2，海报的面积是否也为定值？

思考2：设版心的高为x，则海报的面积为多少？

(x+4)(128+2)x

x

海报四周空白的面积为多少？

(x+4)(128+2)-128x

思考3：设海报四周空白的面积为S(x)，则S(x)的最简表达式如何？

其定义域是什么？

512S(x)=2x++8,x>0

x思考4：如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？(解决优化问题的本质就是求函数的最值。) 解法一（导数）：

128dm,此时四周空白面积为

x1285122)1282x8,x0。

S(x)(x4)(xx512'

求导数，得S(x)22。

x512128128'8。

令S(x)220，解得x16(x16舍去）。于是宽为xx16解：设版心的高为xdm，则版心的宽为当x(0,16)时，S'(x)<0；当x(16,)时，S'(x)>0. 因此，x16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

【引申思考】在本题解法中，“x=16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点。”为什么？

【生】学生讨论回答

【师】一个函数在某个区间上若只有一个极值，则该极值即为这个区间上的最值。在实际问题中，由于f'(x)=0常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。

【一题多解】对于本题的最值你是否还有别的解法？

【探究解答】由解法一可得：

2

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

【拓展提升】思考5：若学校用来粘贴海报的版面只有15dm*90dm的规格，此时如何设计版心才能使得四周空白面积最小？还能用均值不等式解决问题吗？

【生】学生讨论回答

（用均值不等式求最值、二次函数求最值等特殊方法的限制性，突出导数的工具性，强调通法通则解决求最值问题的思想方法。）

四、解题小结：

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题

建立数学模型

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模的过程。

五、课堂练习

练习1：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积的最大值为多少？

解法一（导数）：

设矩形的一边为xcm，则另一边为（6x）cm，面积为S

2S（x）x（6x）6xx（0x6)

S(x)62（x0x6)

令S(x)0，解得x3

当S(x)0时,得0x3

S(x)在(0,3)上是单调递增的,S(x)在(3,6)是单调递减的

S(x)在x3cm处取到最大值S(3)9cm2

2答:当矩形是正方形时,它的面积最大为9cm

解法二（均值不等式）：（略,不强调）

x6xSxx6x9

22当仅当x6x,即x=3时，Sx取得最大值9

答：当矩形为边长3cm的正方形时，它的面积最大值为9cm.

练习2:在边长为acm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少? 2

3

h



解：设箱底边长为xcm，则箱高箱子容积V(x)x2h

a 

x

，

2

3

a x

2



x

(0＜x＜a)．

2

3

3

V

'

(

x

)



a x



x

2

令

(

x

)



a x



x

2



0

,

V

'

2

2

解得

x0 (不合题意，舍去) 或x当x∈(0,

2a

322a)时,V'(x)>0;当x∈(a,a)时,V'(x)<0. 332∴函数V (x)在x=a处取得唯一的极大值,这个极大值就是函数V (x)的最大值. 32

22V(a)a(332aa3)2a3(cm)3227答：当箱箱底边长为22acm时,箱子容积最大,最大值为a3cm3 . 327在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使

f '(x)＝0 的情形，若函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值． 六、课堂小结

1.解决优化问题的基本思路是：

优化问题

建立数学模型

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

2.解决生活中的优化问题的基本步骤

(1)、建立实际问题的数学模型，即列出函数关系式

yf(x)

，并写出定义域；

（2）、求函数的导数

f(x)

，并求出极值点; （3）、根据问题的实际范围，确定最大（小）值；

（4）、作答。

七、回顾问题

回应本节的问题背景（饮料瓶大小对饮料公司利润的影响）

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8r分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

2

要求：学生课后自主思考并完成，包括详细解答过程

八、布置作业

1、学案 问题背景思考题 2、学习评价 P93 1、2、6、7题

4

九、板书设计

3.4 生活中的优化问题举例

导数的作用

例、（方法一）通法通则

（单调性）

（求极值）

（求最值）

解决优化问题的基

本步骤：

1、

（方法二）特殊情形

2、

3、

（学生作答区）

练习2：

整节课时及内容安排

课时1. 与几何有关的面积、体积最值问题；

课时2. 与利润及其成本有关的最值问题；

课时3. 其他最值问题；

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