3.1.1 变化率问题优秀教案设计

《变化率问题》教学设计

贵州省都匀市民族中学：徐本华一、教学设计说明

1．

教材分析

本课是人教版高中数学选修2-2第一章第一节的第一课时的内容，其基本内容是平均变化率的概念。我们知道函数在高中数学有着不可忽视的地位，并且导数是研究函数的重要工具及手段，而平均变化率直观的帮助学生了解导数概念的实际背景及几何意义，进而有利于学生更好的学习瞬时变化率——导数，可以说，这一节起到了承上启下的作用。

2．

学情分析

本节课的教学对象为高二年级理科生，在物理中，学生已学过平均速度、瞬时速度、加速度等概念，这些都直接或间接地涉及到平均变化率的思想，同时学生又具备了一定的函数知识与解析几何知识，这些都有利于本节课的顺利进行。平均变化率对于学生来说既陌生又熟悉，熟悉是因为现实生活中有大量问题涉及到平均变化率，所以说它是实践性很强的内容。但是学生没有明确的系统的学***均变化率，不知道他的精确定义及内涵。由于学生通过自己的亲身体验，亲自去解释生活中的一些问题，才能体会到平均变化率的基本思想。因此需要学生具有高度的概括能力和深刻的思维能力，对学生的思维是一次挑战，因此，平均变化率的理解与转化是本节课的难点。

二、

教案

课题

学生

知识与

技能

变化率问题

普通中学高二年级学生

授课时间

授课人

30分钟

王凤艳

知道什么是变化率问题，掌握平均变化率概念及其计算步骤。深刻理解平均变化率的实际意义，提高用数形结合的思想方法解决问题的能力。

通过大量实例让学生直观感知，自主构建平均变化率概念，感受平均教

学

目

标

过程与

方法

变化率广泛存在于日常生活中，经历运用数学去描述和刻画现实世界的过程。

让学生认识到“数学是有用的，它源于生活，又服务于生活”，从而情感态度与价值观

提高他们学习数学的热情。并且通过本节课的学习培养他们勇于探索、积极思考的学习精神。

教学重点

平均变化率的概念和意义。

如何从数学的角度描述现实生活中变量变化的快慢，即如何构建平均变化教学难点

率的概念。

启发式讲解、互动式讨论、归纳发现等授课方式，充分发挥学生的主体地教学方法

位。

教学媒体

多媒体。

课

堂

教

学

过

程

多媒体

创

设

请看雅典奥运会上刘翔奋力情拼搏的雄姿（观看视频）

境

思考：

、

问题１：他是不是每秒钟都跑了引

入

课

题

学生活动

教师活动

设计意图

一、创设情境、引入课题

ppt: 问题情境：

学生：观看视频，积极思考，互相讨论。

8.52m呢？

问题２：通过观察速度变化曲线，你能帮助他的教练分析他各阶段的平均速度吗？

教师:引导学生观察整个过程的平均速度与直线斜率的关系。

问题情境的创设贴近生活，能够激起学生探究激情。

二、总结规律，归纳新知

ppt：

归纳：

物理中平均速度的概念延伸到数学中一般函数的函数值变化的快慢问题。

问：你能总结出函数平均变化率的一般定义吗？

形成概念：平均变化率的概念

一般地，对于函数

学生：一起总结，理解含义，大胆尝试，给出定义。

教师：引领学生由物理中平均速度过渡到数学的中知识，进而让学生尝试归纳出平均变化率的定义，步入新课。

让学生经历如何从数学的角度描述现实生活中变量变化的快慢这个过程，即让学生自主构建平均变化率的概念。

f(x)，把式子

f(x2)f(x1)f

x2x1x1

数形结合

，

归纳

新知

称为函数率。

简记f(x)从x1到x2的平均变化x2x1x

：，f(x2)f(x1)f三、深入剖析，数形结合

教师：引导学生从图形角度思考，在某市2011年3月18日，4月18，积极思考，大胆数与形两个角度日，4月20日得日最高气温如表，分析变化率问题

猜测。

气温变化曲线如图。

问：你对这两个时段内的气温变

化有什么样的感受？

实例1：

甲和乙两人做生意，甲挣了10万学生：分组讨论，教师：解释实例意元，乙挣了2万元。甲、

乙两人帮助学生理解积极思考，交流体义，谁的经营成果更好？

生活实例。

甲和乙两人做生意，甲用5年时会。

教师：提出问题，间挣到10万元，

乙用5个月时间挣到2万元，甲、

乙两人谁的让学生找出平均经营成果更好？

变化率的实际意实例2：

某婴儿从出生到第12个月的体重义。

变化如图所示，试分别计算从出

生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。

教师：点拨，强调实例3：

归纳思想。

国家环保局在规定排污达标日期前，对甲、乙两企业进行检查，其连续检测结果如图所示，试比较两个企业的治污效果。

问题情境：

学生：观察图像

四、巩固练习、深刻理解

问题情境：与现实生活贴切，让学生理解数学来源于生活又服务于生活。让学生得出平均变化率是曲线陡峭程度的数量化，真正体会了数形结合的思想过程。

实例：通过用所学过的数学知识平均变化率去解释生活中的现象，让学生真正理解它的实际意义和数学意义。

2

应

用

新知

，

归

纳

总

结

例1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?

例2.

已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率. (1)

[ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] . 做两个题吧! 1.

已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( ) A 3 B3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx 2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 问：你能总结出计算平均变化率的步骤吗？

学生：思考作答。

教师：总结并让学

生反思，解决认知冲突，并引导学生利用平均变化率代表公式。

让学生反复应用定义，从而深刻理解定义本质，记忆定义，并且自己总结出计算步骤。

五、课堂小结

进一步达到情感态度价值观请同学们总结这节课都有哪些收获？

学生：总结所学知识。

教师：总结数学思想方法数与形的完美结合，进行情感教育

目标，总结本节课所用到的数学思想方法，是本课的升华。

课外探究

课外学习

2例3、已知函数

f(x)=x,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]；

（2）[1，2]；

（3）[1，1.1]；

（4）[1，1.001].

（5）[0.9，1]；

（6）[0.99，1]；

（7）[0.999，1]. 3 通过本节课所学知识，对曲线段的平均变化率即斜率的理解及对平均变化率的一般计算步骤的进一步应用。且引出下节课所学知识——瞬时

课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是什么？

变化率（导数）。

1.1.1 变化率问题

平均变化率

1、

定义：

一般地，对于函数f(x)，把式子

f(x2)f(x1)f

x2x1x

称为函数变化率。

简记：注：1）几何意义:过两端点直线的

斜率。

2）陡峭程度平均变化率的绝对值

板书设计

3）一次函数ykxb在任意区间上的平均变化率都是常数k 2、计算步骤：

（1）明确所求区间

（2）求函数值的增量

（3）计算比值：平均变化率

f(x)从x1到x2的平均x2x1x3、

例1：

（1）

（2）

例2 ，

f(x2)f(x1)f变化率问题

教学反思

平均变化率是刻画函数值变化“快、慢”的量，在研究函数性质方面有着独特的作用，更是学习导数和微积分的基础。本节课通过对“平均变化率”这个概念的构建，使学生体验了“创造”的乐趣，充分调动了学生“创新”的欲望，让学生的思维得以充分的暴露，在对思维的过程和结果不断反思中使学生的创造思维得以发展。通过这节课的学习，学生既掌握了平均变化率的概念和求平均变化率的步骤，又加深了对函数本质的认识，也为今后用导数研究函数的单调性、极值以及学习微积分作了充分准备。研究平均变化率的过程体现了“数形结合”和“从特殊到一般”的思想方法，这对培养学生的创新意识、探究能力，掌握数学的思想方法具有重要意义。

本节课试图体现学生是学习的主人的指导思想，自始至终地围绕着“问题”的分析、反思、深化，让学生自我发现、自我完善的解决途径，发挥学生的聪明才智。整个过程学生始终处于主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动中，通过教师适时的引导和介入，将学生的思维引入一个比一个更为广阔的空间。让学生从不同角度（数、形）、运用所学知识和方法处理实际问题，把握问题的本质，揭示规律，培养学生的优良思维品质，提高分析、探索能力和创新能力。

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