第四章 圆与方程（通用）课件配套优秀教案案例

圆与方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

（1）标准方程xaybr，圆心222a,b，半径为r；

点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：

当(x0a)(y0b)>r，点在圆外

当(x0a)(y0b)=r，点在圆上

当(x0a)(y0b)

（2）一般方程x2y2DxEyF0

DE，半径为r1D2E24F

当DE4F0时，方程表示圆，此时圆心为,22222222222222当DE4F0时，表示一个点；

当DE4F0时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线l:AxByC0，圆C:xa2yb2r2，圆心Ca,b到l的距离2222drl与C相切；drl与C相交

为dAaBbC，则有drl与C相离；22AB

（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】

(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

22设圆C1:xa12yb12r2，C2:xa2yb2R2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

当dRr时两圆外离，此时有公切线四条；

当dRr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当RrdRr时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当dRr时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当dRr时，两圆内含；

当d0时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线

圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

例题：例2 已知圆x+y+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐22标原点），求该圆的圆心坐标及半径. 解

方法一 将x=3-2y,

代入方程x+y+x-6y+m=0,225y-20y+12+m=0.

y1+y2=4,y1y2=12m.

52设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.

x1=3-2y1,x2=3-2y2.

51∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为，3,半径r=.

22方法二

如图所示，设弦PQ中点为M，

∵O1M⊥PQ，∴kO即：y=2x+4.1M2.1O1M的方程为:y-3=2x,2y2x4.x2y302

解得M的坐标为（-1，2）.

则以PQ为直径的圆可设为（x+1）+（y-2）=r.

∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.22222222

∴（0+1）+（0-2）=r，即r=5,MQ=r.

在Rt△O1MQ中，O1Q=O1M+MQ.

22221(6)24m12∴1(3-2)+5=42∴m=3.∴半径为

51,圆心为,3.

2222例3 （12分）已知实数x、y满足方程x+y-4x+1=0.

（1）求y-x（2）求x+y的最大值和最小值.

解

（1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时20b23,，解得b=-2±6. 22

所以y-x的最大值为-2+6，最小值为-2-6.

22

（2）x+y表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取

得最大值和最小值.

（00）2=2又圆心到原点的距离为（20）2222所以x+y的最大值是（2+3）=7+43x2+y2的最小值是（2-3）2=7-43.

基础：

1

圆：x2y24x6y0和圆：x2y26x0交于A,B两点，

则AB的垂直平分线的方程是

。

3

已知圆C：(xa)(y2)4(a0)及直线l:xy30，当直线l被C截得的22弦长为23时，则a

。

224

圆(x1)y1的圆心到直线y3x的距离是

。

36

圆xy1上的点到直线3x4y250的距离的最小值是

。 227

两圆xy9和xy8x6y90的位置关系是

。8

若2222A(1,2,1),B(2,2,2),点P在z轴上，且PAPB，则点P的坐标

为

9

若曲线y1x2与直线yxb始终有交点，则b的取值范围是

___________；

10

已知圆C的方程为xy2y30，过点P(1,2)的直线l与圆

22C交于A,B两点，若使AB最小，则直线l的方程是

。

11

如果实数x,y满足等式(x2)y3，那么22y的最大值是

。

x12

过圆x(y2)4外一点A(2,2)，引圆的两条切线，切点为

22T1,T2，则直线TT12的方程为

。

15 求过点M(5,2),N(3,2)且圆心在直线y2x3上的圆的方程

16 平面上有两点A(1,0),B(1,0)，点P在圆周x3y44上，

22求使APBP取最小值时点P的坐标

22

：

例题：

例1

从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x+y-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.

解

方法一 如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB=反射光线的斜率k反=22223,根据光的反射定律，

b33.b3y=1,

3(x-b),b33x-(b+3)y-3b=0.

∵已知圆x+y-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2∴6（b3）23b9(b3)2=1,解得b1=-3,b2=1.

4∴kAB=-34或kAB=-.4322l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

22方法二

已知圆C：x+y-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)+(y+2)=1，其圆心C1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切.

设l的方程为y-3=k(x+3),则5k51k22=1,12k+25k+12=0.

2∴k1=-34，k2=-.43l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.

33kbkk5k5,消去b得∴=1.22k2b1k121k12k+25k+12=0,∴k1=-234,k2=-.43

则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

例2 已知圆C1：x+y-2mx+4y+m-5=0,圆C2：x+y+2x-2my+m-3=0,m为何值时，

（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2

解

对于圆C1与圆C22222222222

C1:(x-m)+(y+2)=9; C2:(x+1)+(y-m)=4.

(1)如果C1与C2外切，则有（m1）2(m2)2=3+2.

(m+1)+(m+2)=25.22m+3m-10=0,解得m=-5或m=2.

2

（2）如果C1与C2内含，则有（m1）2(m2)2＜3-2.

(m+1)+(m+2)＜1,m+3m+2＜0,∴当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2当-2＜m＜-1时，圆C1与圆C2内含.

22222-2＜m＜-1,

例3（12分）已知点P（0，5）及圆C：x+y+4x-12y+24=0.

（1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；

（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.

22解 （1）方法一 如图所示，AB=43，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=23，圆x+y+4x-12y+24=0可化为（x+2）+（y-6）=16，圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4在Rt△ACD中，可得CD=2. 即kx-y+5=0.

由点C到直线AB的距离公式：2k65k2(1)222

2

设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx, =2，得k=

3. 4

4 6

此时直线l的方程为3x-4y+20=0.

又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0. 2则y-12y+24=0,∴y1=6+23,y2=6-23,

∴y2-y1=43,故x=0满足题意.

∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.

方法二

设所求直线的斜率为kykx5,联立直线与圆的方程22xy4x12y240

8

y-5=kx,即y=kx+5,

①

2

消去y得（1+k）x+(4-2k)x-11=0

22

设方程①的两根为x1,x2,2k4xx121k2

11xx121k2

② 4

由弦长公式得1k2|x1-x2|=(1k2)[(x1x2)24x1x2]43,将②式代入，解得k=

343x-4y+20=0. 又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.

∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.

（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x,y）,（x+2,y-6）·(x,y-5)=0,

8

CD⊥PD，即CD·PD=0，

x2+y2+2x-11y+30=0.

提升：1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形（

）

A.是锐角三角形

B.是直角三角形

C.是钝角三角形

D.不存在

2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（

）

A.95

B.91

C.88

D.75 3.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（

）

A.x－y=0

B.x+y=0

C.|x|－y=0

D.|x|－|y|=0 4.（2002京皖春理，8）圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0（θ∈R,θ≠2＋kπ，k∈Z）的位置关系是（

）

A.相交

B.相切

C.相离

D.不确定的

5.（2002全国文）若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为（

）

A.1，－1

B.2，－2

C.1

D.－1 6.（2002全国理）圆（x－1）2＋y2＝1的圆心到直线y=3x的距离是（

）

3

D.A.1

2

B.3

2

C.1

3

7.（2002北京，2）在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80°,sin80°）,B（cos20°，sin20°），则|AB|的值是（

）

A.1

2

B.2

2

C.3

2

D.1 8.（2002北京文，6）若直线l：y＝kx直线l的倾斜角的取值范围是（

）

A.[3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则,)

63

B.(,)

62C.(,)

32

D.[,]

6210.（2001全国文，2）过点A（1，－1）、B（－1，1）且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（

）

A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4

B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4 C.（x－1）2＋（y－1）2＝4

D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4 11.（2001上海春，14）若直线x=1的倾斜角为α，则α（

）

A.等于0

B.等于4

C.等于

2

D.不存在

12.（2001天津理，6）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|=|PB|，若直线PA

的方程为x－y+1=0，则直线PB的方程是（

）

A.x+y－5=0

B.2x－y－1=0

C.2y－x－4=0

D.2x+y－7=0 18.（1999全国文，6）曲线x2+y2+2A.直线x=2x－22y=0关于（

）

B.直线y=－x轴对称

D.点（－2轴对称

C.点（－2，2）中心对称

2，0）中心对称

19.（1999上海，13）直线y=3x绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆

3（x－2）2+y2=3的位置关系是（

）

A.直线过圆心

B.直线与圆相交，但不过圆心

C.直线与圆相切

D.直线与圆没有公共点

20.（1999全国，9）直线A.3x+y－23=0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为（

）

6

B. 4

C．

3

D.

221.（1998全国，4）两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是（

）

A.A1A2＋B1B2＝0

B.A1A2－B1B2＝0 C.A1A21

B1B2

D.B1B2A1A2=1 22.（1998上海）设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与bx－sinB·y+sinC=0的位置关系是（

）

A.平行

B.重合

C.垂直

D.相交但不垂直

23.（1998全国文，3）已知直线x=a（a>0）和圆（x－1）2+y2=4相切，那么a的值是（

）

A.5

B.4

C.3

D.2 24.（1997全国，2）如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行，那么系数a等于（

）

A.－3

B.－6

C.－3

2

D.2

325.（1997全国文，9）如果直线l将圆x2+y2－2x－4y=0平分，且不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（

）

A.［0，2］

B.［0，1］

C.［0，1］

2

D.［0，1）

2

31.（2003上海春，7）若经过两点A（－1，0）、B（0，2）的直线l与圆（x－1）2+ （y－a）2=1相切，则a=_____.

32.（2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为

．

33.（2002北京理，16）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为

．

34.（2002上海文，6）已知圆x2＋（y－1）2＝1的圆外一点P（－2，0），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是

．

35.（2002上海理，6）已知圆（x＋1）2＋y2＝1和圆外一点P（0，2），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是

．

40.（1997上海）设圆x2+y2－4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是

. 41.（1994上海）以点C（－2，3）为圆心且与y轴相切的圆的方程是

. 三、解答题

42.（2003京春文，20）设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹. 44.（2002全国文，21）已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为2，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．

49.（1994全国文，24）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.

运用：（2）常见题型——求过定点的切线方程

①切线条数

点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无

②求切线方程的方法及注意点

．．．i）点在圆外

如定点Px0,y0，圆：xaybr，[x0ay0br] 222222第一步：设切线l方程yy0kxx0

第二步：通过drk，从而得到切线方程

特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了！

如：过点P1,1作圆xy4x6y120的切线，求切线方程. 22答案：3x4y10和x1

ii）点在圆上

1）

若点x0，y0在圆xyr上，则切线方程为x0xy0yr

2222会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2）

若点x0，y0在圆xaybr上，则切线方程为

222x0axay0bybr2

碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.

由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. ③求切线长：利用基本图形，APCPr2AP求切点坐标：利用两个关系列出两个方程22CPr2

2ACrkACkAP1

最值问题

方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程

1.已知实数x，y满足方程xy4x10，求：

22y的最大值和最小值；——看作斜率

x5（2）yx的最小值；——截距（线性规划）

（1）（3）xy的最大值和最小值.——两点间的距离的平方

2.已知AOB中，OB3，OA4，AB5，点P是AOB内切圆上一点，求以PA，22PB，PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值. 数形结合和参数方程两种方法均可！

3.设Px,y为圆xy11上的任一点，欲使不等式xyc0恒成立，则c的取22值范围是____________.

答案：c21（数形结合和参数方程两种方法均可！）

七、圆的参数方程

xrcos，为参数

xyrr0yrsin222xayb22xarcos，为参数

r2r0ybrsin高考真题；1.（09·宁夏海南）已知圆C1：(x1)2+(y1)2=1，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为

( ) A.(x2)+(y2)=1

B.(x2)+(y2)=1 C.(x2)+(y2)=1

D.(x2)+(y2)=1 2.（09·重庆）直线yx1与圆xy1的位置关系为

（

）

A．相切

B．相交但直线不过圆心

C．直线过圆心 D．相离

3.（09·重庆）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为

（

）

2222222222

A．x(y2)1

B．x(y2)1

C．(x1)(y3)1

222222

D．x(y3)1

222222xy9xy8x6y90的位置关系是（

）

9.两圆和A

相离

B

相交

C

内切

D

外切

1.（09·四川）若⊙O1:x2y25与⊙O2:(xm)2y220(mR)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是

. w2.（09·天津）若圆xy4与圆xy2ay60（a>0）的公共弦的长为23，则a=___________. 22223．（09·辽宁）已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为_____________.

1.已知一圆经过点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心C在直线l：x2y30上，求此圆的方程．

2.已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半， 求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．