复习参考题教学实录与评析

用空间向量求空间角(2课时）

蔡丽楠

一、近几年的高考题型分析

1.高考题型分布：

理科试题

2014·全国Ⅰ卷·19 2015·全国Ⅰ卷·18 2016·全国Ⅰ卷·18 2017·全国Ⅰ卷·18 2018·全国Ⅰ卷·18 2018·全国Ⅱ卷·20 2018·全国Ⅲ卷·19 2.考情考向分析

解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，先证明平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算，重在考查学生的逻辑推理能力及计算能力，热点题型主要有平面图形的翻折、探索性问题等．难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上．

二、真题再现

1.(2018·全国Ⅰ卷理科·18)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF. (1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

2.(2018·全国Ⅲ卷理科·19)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面

MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．

空间几何体

三棱柱

（侧面是菱形）

不规则图形

（底面是菱形）

五面体

四棱锥

正方形翻折图形

三棱锥

半圆弧与正方形所在平面垂直

（1）

（2）

证两线段长度相等

求二面角的余弦值. 证面面垂直

证面面垂直

证面面垂直

证面面垂直

证线面垂直

证面面垂直

求异面直线所成角的余弦值. 求二面角的余弦值. 求二面角的余弦值. 求线面角的正弦值. 已知一个二面角大小，确定动点M位置，求线面角的正弦值. 三棱锥体积最大时，确定动点M位置，求二面角的正弦值.

3.(2017·全国Ⅰ卷理科·18)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，

求二面角A－PB－C的余弦值.

三、典例精析

类型一

已知空间中过同一点且两两垂直的三条直线，直接建系.

例1 如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4. (1)求证：DE⊥平面ACD；

(2)若AC＝BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．

方法总结：利用向量法求解线面角和二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”；第二，破“求坐标关”；第三，破“求法向量关”；第四，破“应用公式关”.

跟踪演练1

(2018·滨海新区重点学校联考)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45°，E是PA的中点，F在线段AB上，→→且满足CF·BD＝0. (1)求证：DE∥平面PBC；

(2)求二面角F－PC－B的余弦值；

类型二

已知空间中过同一点的三条直线，先证两两垂直，再建系. 例2

如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2AD＝2，∠DAB＝60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD. (1)若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；

(2)求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；

跟踪演练2

如图，在等腰梯形ABCD中，AE⊥CD，BF⊥CD，AB＝1，AD＝2，∠ADE＝60°，沿AE，BF折成三棱柱AED－BFC. (1)若M，N分别为AE，BC的中点，求证：MN∥平面CDEF；

(2)若BD＝5，求二面角E－AC－F的余弦值.

类型三

根据面面垂直求作线面垂直再建系. 例3 (2017·北京)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝6，AB＝4. (1)求证：M为PB的中点；

(2)求二面角B—PD—A的大小；

(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

方法总结：求空间角注意：

①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|；

②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角；

③直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，注意函数名称的变化．

跟踪演练3

(2018·泉州质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD＝PD＝4，∠BAD＝60°，∠ADP＝120°，点E为PA的中点．

(1)求证：BE∥平面PCD；

(2)若平面PAD

⊥平面ABCD，求直线BE与平面PAC所成角的正弦值．

四、课后练习

1.如图，在四面体ABCD中，BA＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°. (1)证明：BD⊥AC；

(2)若∠ABD＝60°，BA＝2，四面体ABCD的体积为2，

求二面角B－AC－D的余弦值．

2.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，DF＝2BE＝2，EF＝3. (1)证明：平面ACF⊥平面BEFD；

(2)若二面角A－EF－C是直二面角，求AE与平面ABCD所成角的正切值．