1.1.2 四种命题名师教学设计1

1.1.2~1.1.3四种命题及四种命题的相互关系

教学目标

1.知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假． 2.过程与方法：通过实例引导学生分析，并写出四种命题，培养学生抽象概括能力和思维能力．

3.情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力、分析问题、解决问题的能力．

教学重点与难点

重点：（1）掌握四种命题并会判断命题的真假；

（2）理解四种命题之间的相互关系．

难点：（1）命题的否定与否命题的区别；

（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．

教学过程

一．复习引入

初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？

二．探究

问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

1．四种命题定义：

定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个

命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

让学生举一些互逆命题的例子。

定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

让学生举一些互否命题的例子。

定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

让学生举一些互为逆否命题的例子。

小结： (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．

强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。

2．四种命题的形式

让学生结合所举例子，思考：

若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？

学生通过思考、分析、比较，总结如下：

原命题：若P，则q．则：

逆命题：若q，则P．

否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）

逆否命题：若￢q，则￢P．

三.例题讲解：

例1:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：

（１）

正方形的四边相等；

（２）若X=1或X=2，则X2－3X+2=0；

（３）

若整数a是素数，则是a奇数。

结论1：要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若P则Q”的形式）

结论2：（1）“或”的否定为“且”，

（2）“且”的否定为“或”，

（3）“都”的否定为“不都”. 结合以上练习完成下列表格：

原 命 题

逆 命 题

真

假

真

假

否 命 题

逆 否 命 题

假

真

真

假

由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．

一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？

让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．

学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：四种命题关系

若P，则q．

原命题

互 互

否

互

否命题

互 逆

若￢P，则￢q．

若￢q，则￢P．

逆否命题

为 逆

否

为

逆

否

否

互

互 逆

逆命题

若q，则P．

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

例2：设原命题是“当a>0 时，函数y=ax+b是增函数”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假

解：

逆命题：若函数y=ax+b是增函数，则a >0．

逆命题为真．

否命题：当a ≤ 0 时，则函数y=ax+b不是增函数．否命题为真．

逆否命题：若函数y=ax+b不是增函数，则a

≤0

．

逆否命题为真．

例3：证明：若p2

＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．

分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。

将“若p2

＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p2 + q2 ≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．

证明：若p ＋ q ＞2，则

p2

＋ q2

＝［（p －q）2＋（p ＋q）2］≥（p ＋q）2＞×２２＝２

所以p2

＋ q2≠2．

这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。

四．练习巩固：

1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

（1）若q<1,则方程有实根. （2）若ab=0,则a=0或b=0.

2.证明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１．

五.布置作业：

P8：习题1．1 A组 ~第2,3（2）题