3.1.2 空间向量的数乘运算全国优秀课堂实录

3.1.2《空间向量及其运算-数乘运算》

教学目标：

1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的数乘运算. 2.用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题.. 3.培养学生独立思考、主动参与、勇于创新的精神. 教学重点：空间向量的数乘运算及运算律. 教学难点：用向量解决立几问题. 授课类型：复习课

教学方法：启发引导、讲练结合。

教 具：多媒体教学设备。

教学过程：

一、知识回顾

问题1：上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.同学们回顾一下？

平面向量

加法

加法:三角形法则或

减法

平行四边形法则

运算

减法:三角形法则

运

算

律

加法交换律

abba

abba

加法结合律

加法结合律: ab)ca(bc)(ab)ca(bc)

(

空间向量

加法:三角形法则或

平行四边形法则

减法:三角形法则

加法交换律

问题2：两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.因为？

很奇妙,这样定义出来的运算竟然和实数的运算在运算律方面有共同特点.

问题:3：可以得出什么样的结论呢？

问题4：我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢? 二、新课讲解

定义:

数乘空间向量的运算法则

与平面向量一样,实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量. ⑴当0时,a与向量a的方向相同; ⑵当0时,a与向量a的方向相反; ⑶当0时,a是零向量.

例如:

显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

三、典例分析_k例11 热身1：

P196 练习 （1）、（2）、（）3探究1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量

表达式，并标出化简结果的向量.(如图)

(1)ABBC1(3)(ABADAA1)31(4)ABADCC12

(2)ABADAA1

:

平行六面体：平行四边形ABCD按向量平移到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体。记做ABCD-A1B1C1D1

注:始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量

为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

探究二：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，

求满足下列各式的x的值。

(1) AB1A1D1C1CxAC(2) 2AD1BD1xAC1(3) ACAB1AD1xAC1探究三：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，

求满足下列各式的x的值。

(1) AB1A1D1C1CxAC

(2) 2AD1BD1xAC1

(3) ACAB1AD1xAC1

向量的平行与重合些向量叫共线向量.(或平行向量) 定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这思考⑴:对空间任意两个向量a与b,如果ab,那么a与b有什么

关系?反过来呢? 类似于平面,对于空间任意两个向量a,b(b0), a//bR,ab.

思考

:如图,l为经过已知点A且平行非零向量a的直线,那么如何表示直线l上的任一点P? 注:非零向量a叫做

直线l的方向向量.

a

: 四、课外思考题

如图,已知空间四边形ABCD中,向量ABa,ACb,ADc,若M为

BC的中点,G为△BCD

的重心,试用a、b、c表示下列向量:

⑴DM ⑵AG

五、归纳总结

小

结：

通过学习,体会到我们可以利用向量的数乘运算解决立体几何中的以下问题：

1．掌握空间向量的数乘运算和运算律. 2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题. 六、作业：课本PA组第1、2题

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