3.1.1 空间向量及其加减运算课件配套优秀获奖教案

3. 1.1空间向量及其运算（一）

教学目标：

㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；

㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会

用联系的观点看待事物．

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：应用向量解决立体几何问题．

教学方法：讨论式．

教学过程：

Ⅰ.复习引入

［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学***面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：

①用有向线段表示；

②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB．

［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．

［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：

⒈向量的加法：

⒉向量的减法：

⒊实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0.

［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？

［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本

1

Ⅱ.新课讲授

［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？

［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．

［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？

［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：

OBOAAB=a+b，

ABOBOA（指向被减向量），OPλa

(R)

［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．

［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：

⑴加法交换律：a + b = b + a；

⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）

⑶数乘分配律：λ(a + b)

=λa +λb．

［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：

A1A2A2A3A3A4An1AnA1An

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．

⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10．

⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．

因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．

例１已知平行六面体ABCDA'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

⑴ABBC；1⑶ABADCC'⑵ABADAA'；2

1⑷(ABADAA')．

3说明：平行四边形ABCD平移向量

a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．

平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．

说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个

2

向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．

例2、如图中，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1体对角线的交点，点P是任意一点，则．

分析：

将要证明等式的左边分解成两部分：与，第一组向量和中各向量的终点构成平行四边形ABCD，第二组向量和中的各向量的终点构成平行四边形A1B1C1D1，于是我们就想到了应该先证明：

解答：

设E，E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C1D1的中心，于是有

将以上所述结合起来就产生了本例的证明思路．

点评：

在平面向量中，我们证明过以下命题：已知点O是平行四边形ABCD对角线的交点，点P是平行四边形ABCD所在平面上任一点，则将平面向量的命题推广到空间来．

Ⅲ.巩固练习

3 ，本例题就是

Ⅳ.

教学反思

平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．

关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．

Ⅴ.课后作业

⒈课本

1、2、

⒉预习下一节：

⑴怎样的向量叫做共线向量？

⑵两个向量共线的充要条件是什么？

⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？

⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？

⑸怎样的向量叫做共面向量？

⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？

⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？

4

3.1.1空间向量及其运算（一）

课前预习学案

预习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

预习内容：1.———————————————叫空间向量．

空间向量的表示方法有： -------------------

2． --------------------------叫相等向量

3.空间向量的运算法则：——————————————————

提出疑惑：

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

课内探究学案

疑惑内容

学习目标：

㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；

㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

学习重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

学习难点：应用向量解决立体几何问题．

学习过程：

例１已知平行六面体ABCDA'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

⑶AB

⑵ABADAA'；⑴ABBC；1⑷(ABADAA')．

3例2、如图中，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1体对角线的交点，点P是任意一点，则．

1ADCC'2

5

当堂检测：

1、下列说法中正确的是（

）

A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同

B．若非零向量C．若与是共线向量，则A、B、C、D四点共线

=

D．四边形ABCD是平行四边形的充要条件是2、已知空间四边形ABCD，连AC，BD，设M、G分别是BC、CD中点，则（

）

A．

B．

C．

D．

3、如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若ABa，

ADb，AA1c，则下列向量中与BM相等的向量是

1111abcabc

(A)

(B)22221111abc

(D)abc

(C)2222

D1A1DM（

）

C1B1CB五、课后练习与提高：

A

1．对于空间任意一点O和不共线三点A,B,C，点P满足OPxOAyOBzOC是点P,A,B,C共面的

（

）

(A)充分不必要条件

(C)充要条件

(B)必要不充分条件

(D)既不充分也不必要条件

6

2．已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E,F分别是上底面AC11和侧面CD1的中心，求下列各式中的x,y的值：

（1）AC1x(ABBCCC1)，则x

；

y

；

（2）AEAA1xAByAD，则x

；y

；

（3）AFADxAByAA1，则x

；3．已知平行六面体ABCDA

1B1C1D1，化简下列向量表达式，并填上化简后的结果向量：

（1）ABC1B1CD1

；（2）ABADAA

1

。4．设ABCDA1B1C1D1是平行六面体，M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且BN3NC1，设MNaABbADcAA1，试求a,b,c的值。

7