3.2.2 直线的两点式方程优质课一等奖

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3.3

直线的交点坐标与距离公式

3.3.1

两条直线的交点坐标

3.3.2

两点间的距离

1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．(重点) 2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．(难点) 3．掌握两点间的距离公式并会简单应用．(重点)

[基础·初探] 教材整理1

两直线的交点坐标

阅读教材P102～P103“探究”以上部分，完成下列问题．

已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若两直线方程组成A1x＋B1y＋C1＝0x＝x0，的方程组有惟一解则两直线相交，交点坐标为(x0，A2x＋B2y＋C2＝0y＝y0，y0)．

直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(

) A．(4,1)

41C.3，3

B．(1,4) 14D.3，3



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x＋2y－2＝0，【解析】

由方程组2x＋y－3＝0，

4x＝3，得1y＝3.

41即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是3，3. 【答案】

C 教材整理2

两点间的距离

阅读教材P104“练习”以下至P105“例3”以上部分，完成下列问题．

1．平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12. 2．两点间距离的特殊情况

(1)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2. (2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|. (3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.

已知点A(－1,2)，点B(2,6)，则线段AB的长为__________．

【解析】

由两点间距离公式得|AB|＝2＋12＋6－22＝5. 【答案】

5

[小组合作型]

两直线的交点问题

直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程.

【精彩点拨】

先求出交点，再由点斜式求方程或设出过交点的直线系方程，由待定系数法求方程．

x＋y－2＝0，【自主解答】

法一

联立方程

x－y＋4＝0，x＝－1，解得即直线l过点(－1,3)．

y＝3，“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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3因为直线l的斜率为2，

3所以直线l的方程为y－3＝2(x＋1)，即3x－2y＋9＝0. 法二

因为直线x＋y－2＝0不与3x－2y＋4＝0平行，

所以可设直线l的方程为x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，

整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0，

因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，

1＋λλ－14－2λ1所以3＝≠4，解得λ＝5，

－26418所以直线l的方程为5x－5y＋5＝0，即3x－2y＋9＝0.

1．解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解．

2．过两条相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含直线l2)．

[再练一题] 1．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．

3x＋4y－2＝0，【解】

法一

由方程组

2x＋y＋2＝0，x＝－2，解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．

y＝2，∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝2＝－1. －2

故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0. 法二

∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.

两点间距离公式的应用

已知△ABC的三个顶点坐标是A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)．

(1)判断△ABC的形状；

(2)求△ABC的面积．

【精彩点拨】

(1)先依据已知条件，画出草图，判断△ABC的大致形状，然后从边着手或从角着手确定其形状；

(2)结合三角形形状求解．

【自主解答】

(1)法一

∵|AB|

＝3＋32＋－3－12＝213，

|AC|＝1＋32＋7－12＝213，

又|BC|＝1－32＋7＋32＝226，

∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，

且|AB|＝|AC|，

∴△ABC是等腰直角三角形．

法二

∵kAC＝7－1－3－132＝2，kAB＝＝－3，

1－－33－－3则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝1＋32＋7－12＝213，

|AB|＝3＋32＋－3－12＝213，

∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．

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11(2)△ABC的面积S△ABC＝2|AC|·|AB|＝2×213×213＝26.

1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．

2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．

[再练一题] 2．若等腰三角形ABC的顶点A是(3,0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5,4)，求等腰△ABC的腰长．

【解】

因为|AD|＝5－32＋4－02＝25. 在Rt△ABD中，由勾股定理得

|AB|＝|AD|2＋|BD|2＝20＋4＝26. 所以等腰△ABC的腰长为26. [探究共研型]

坐标法的应用

探究1

在如图3-3-1所示平面直角坐标系中，你能用代数方法证明等腰梯形ABCD的对角线|AC|＝|BD|吗？

图3-3-1 【提示】

设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．

∴|AC|＝b－02＋c－02＝b2＋c2. |BD|＝a－b－a2＋c－02＝b2＋c2. 故|AC|＝|BD|. “备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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探究2

已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面1直角坐标系，证明：|AM|＝2|BC|. 【提示】

以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)，斜边BC的中点为M，

0＋b0＋c所以点M的坐标为，2，

2bc即2，2. 由两点间距离公式得

|BC|＝0－b2＋c－02＝b2＋c2，

|AM|＝cb20－2＋0－22

1＝2b2＋c2，

1故|AM|＝2|BC|.

在△ABC中，AD是BC边上的中线．

求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．

【精彩点拨】

建立适当“形”化到“数”的坐标系――――――→

―“数”化到“形”坐标表示A、B、C、D各点―→代数计算――――――→几何关系

―【自主解答】

以边BC所在直线为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0)．

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∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，

|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，

∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，

|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，

∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．

1．坐标法的定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．

2．利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：

(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；

(2)用坐标表示有关的量；

(3)将几何关系转化为坐标运算；

(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．

[再练一题] 3．用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立．

【证明】

取长方形ABCD的两条边AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．

设长方形ABCD的四个顶点为A(0,0)，B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，在平面上任取一点M(m，n)，

则|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2，

|BM|2＋|DM|2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2，

所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2. “备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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1．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于(

) A．5

C.13 B.37 D．4 【解析】

|MN|＝2＋12＋1－52＝5. 【答案】

A 2．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为(

) A．6

C．2 B.2 D．不能确定

b－a【解析】

由kAB＝1，得1＝1，∴b－a＝1. ∴|AB|＝5－42＋b－a2

＝1＋1＝2. 【答案】

B 3．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．

a3【解析】

l1与l2相交，则有4≠6，∴a≠2. 【答案】

a≠2 4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________.

【解析】

设A(x,0)，B(0，y)，∵AB的中点为P(2，－1)，

xy∴2＝2，2＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，∴|AB|＝42＋22＝25. 【答案】

25 5．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．

(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；

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(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0. 2x＋y－3＝0，【解】

解方程组得交点P(1,1)．

x－y＝0，(1)若直线与l1平行，

∵k1＝2，∴斜率k＝2，

∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，

即：2x－y－1＝0. 3(2)若直线与l2垂直，∵k2＝2，

12∴斜率k＝－k＝－3，

2

2∴所求直线方程为y－1＝－(x－1)，

3即：2x＋3y－5＝0.

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