小结名师教学实录

课题：

《空间向量与立体几何》小结探讨课

教材分析：

引进了空间向量以后，若能建立空间直角坐标系，可把求二面角问题转化为求二面角二个面所对应的法向量与法向量所成的角的问题，使几何问题代数化，避免了添加辅助线作二面角的平面角的麻烦.

那么二面角及其法向量所成角有什么关系呢？又如何去判定呢？本节课给出“如何判定二面角及其法向量所成角是相等关系还是互补关系”的判定的方法. 教学目标：了解二面角及其法向量所成角关系的判定方法：同内同外互补，一内一外相等

教法过程：

1、二面角及其法向量与法向量所成角的关系探讨：

已知二面角－ｌ－，空间任取点，，，过点作，，垂足分别为、，则ｌ面，设ｌ面＝，连、，则ｌ、ｌ，为二面角－ｌ－的平面角，过点、分别作平面、平面的法向量n1,n2，则＝－n1,n2（如图1、如图）或＝n1,n2（如图、如图4）

2、二面角及其法向量与法向量所成角的关系判定：

分析以上的图1

－图4，会发现如果把法向量的起点固定在面上，法向量

的长度任意的短，则当法向量的方向同时指向二面角的内部或同时指向二面角的外部时，二面角与其法向量所成角为互补关系；当法向量的方向一个指向二面角的内部一个指向二面角的外部时，二面角与其法向量所成角为相等关系；概括为：“同内同外互补，一内一外相等”。

3、例题讲解：

例1．如图(5) 所示，正方体ABCD-ABCD中，E为

棱BC的中点，求二面角D

BEB的大小．

解：建立空间直角坐标系D-XYZ如图

不妨设正方体的棱长为2, 则B( 2, 2, 0)

、E(1,2,0) 、

B(2, 2, 2)、

D(0, 0, 2)

EB=(1, 0, 2)、

ED=(－1, －2, 2)、

n1＝（0，1，0）为面

BBE的一个法向量，

设n2＝（x，y，1）为面

D BE的一个法向量, ∵n2

EB＝0，n2

ED＝0

x20x2∴ ∴n2＝（-2，2，１）

x2y20y2n1n222∴cos＝

n1n2133∵法向量n1,n2的方向如图所示：同指向二面角的外部，

∴二面角与其法向量所成角为互补关系

∴二面角D BEB的大小为

－arccos2

3例2.

如图(6)，在梯形ABCD中，AD‖BC，∠ABC＝90，AB＝a,AD=3a,PA=2a,ADC=30，PA面ABCD，求：面PAB与面CD所成的角

． 解：以Ａ为坐标原点，建立空间直角坐标系A-XYZ如图，

则

B（ａ，0，0），

C（ａ，3ａ－3ａ，0），

D（0，3ａ，0），P（0，0，2ａ）

，

CD＝（－ａ，3ａ，0），

PC＝（ａ，3ａ－3ａ，－2ａ）则n1＝（0，1，0）为面PAB的一个法向量，

设n2＝（ｘ，ｙ，１）为面PCD的一个法向量

∵n2PC＝0，n2CD＝0

23x232ax(3a3a)y2a03 ∴n∴＝（，

,,1）233y2ax3ay03n1n22∴cos＝

n1n25∵法向量n1,n2的方向如图所示：一个指向二面角的内部一个指向二面角的外部

∴二面角与其法向量所成角为相等关系

2

5课后总结：

当法向量的方向同时指向二面角的内部或同时指向二面角的外部时，二面角与其法向量所成角为互补关系；当法向量的方向一个指向二面角的内部一个指向二面角的外部时，二面角与其法向量所成角为相等关系

作业：p112/6，p113/2，p119/3

∴面PAB与面CD所成的角大小为

arccos