1.1.3 四种命题间的相互关系第一课时教学实录

1.1.2

四种命题

1.1.3 四种命题间的相互关系

教学目标：

1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。

2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。

3、会用命题的等价性解决问题。

教学重点：

1、结合命题真假的判定，考查四种命题的结构。

2、掌握四种命题之间的相互关系。

教学难点：

四种命题之间的相互关系及等价命题的应用

一．

知识回顾

1.命题的概念：一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题. 判断一个语句是不是命题，关键判断：（1）是否为陈述句；（2）能否判断真假。

2、能指出命题的条件和结论

命题的基本形式：“若p,则q”的形式，其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论. 二．

新课讲解

下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间

分别有什么关系? （1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数; 在(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数

(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数得到

互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。

在(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数与(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数得到

互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。

在(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数与(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数得到

互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，若原命题为

若原命题为“若p，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？

四种命题形式：

原命题：

若p，则q. 逆命题：若q，则p. 否命题：若¬p，则¬q. 逆否命题：若¬q，则¬p.

关于四种命题也可叙述为：

①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；

②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；

③交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．

任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。

例1

写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假. （1）若a=0,则ab=0

真

逆命题: 若ab=0,则a=0.

假

否命题:若a≠0,则ab≠0.

假

逆否命题:若ab≠0,则a≠0.

真

(2) 若a2>b2,则a>b.

假

逆命题: 若a>b,则a2>b2.

假

否命题:若a2≤b2,则a≤b.

假

逆否命题:若a≤b,则a2≤b2.

假

(3)

当c>0时,若a>b,则ac>bc.

真

逆命题:当c>0时,若ac>bc,则a>b.

真

否命题:当c>0时,若a≤b,则ac≤bc真

逆否命题:当c>0时,若ac≤bc,则a≤b.

真

（4）四条边相等的四边形是正方形. 改写:若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.

假

逆命题:若一个四边形是正方形,则它的四条边相等. 真

否命题:若一个四边形的四条边不全相等,则它不是正方形. 真

逆否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边

不全相等.

假

四种命题的相互关系

四种命题的等价关系的应用：

判断某个命题的真假，如果直接判断不易，可转化为判断它的逆否命题的真假。例如带有否定词的命题真假的判断。

因此，证明某一问题时，若直接证明不容易入手，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．

练习：1、判断下列说法是否正确：

（1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真。

（2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。

2、如果一个命题的逆命题为假命题，则它的否命题为（

）

A.

一定是假命题

B. 不一定是假命题

C.

一定是真命题

D.

有可能是真命题

四种命题之间的转换

【例2】写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x>10，那么x>0；

(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0. 思路探索：可先分清命题的条件和结论，写成“若p，则q”的形式，再写出逆命题、否命题和逆否命题。

解：

(1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；

否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；

逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线．

(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；

否命题：如果x≤10，那么x≤0；

逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.

(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；

否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；

逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.

规律方法：

1、写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题。

2、在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论。

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题。

(1)垂直于同一平面的两直线平行；

(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．

解

(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面．

否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行．

逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．

(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0. 否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．

逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0 没有实数根，则m·n≥0.

题型二

四种命题真假的判断

【例3】有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；

③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；

④“同位角相等”的逆命题．

其中真命题的个数是________．

[思路探索] 可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用有关知识判断真假．

解析

①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题．

②“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝0，b＝－1，a2≤b2，但a>b，故是假命题．

③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－

2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．

④“相等的角是同位角”是假命题．

答案

1 规律方法：要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．

下列命题中是真命题的是：(

)．

A、命题“若0

B、命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题

C、命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题

D、命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题

解析

对于A，逆命题为“若0

B项，逆命题是“若b2＝9，则b＝3”，它未必成立，因为b可能等于－3，所以B为假；

C项，否命题是“当x≠2时，x2－3x＋2≠0”，因为x＝1时也可以使x2－3x＋2＝0成立，所以为假；

D项，逆否命题是“两个三角形对应角不相等，则这两个三角形不相似”，因为原命题与逆命题同真假，且原命题为真，所以逆否命题为真，故选D. 答案

D 3、四种命题的真假性

(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

真

真

假

假

真

假

真

假

真

假

真

假

真

真

假

假

(2)四种命题的真假性之间的关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

课堂小结：

通过这节课的学习，你学到了那些知识呢？

四种命题形式：

原命题：

若p，则q.

逆命题：若q，则p. 否命题：若¬p，则¬q.

逆否命题：若¬q，则¬p.

2、四种命题间的相互关系及其真假性的关系：

作业：习题1.1

A组

2-4题