3.4 生活中的优化问题举例优质课教案推荐

3.4

导数在实际生活中的应用

教学目标：

1.

通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进

学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；

2.

通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力

的提高．

教学重点：

如何建立实际问题的目标函数．

教学难点：

如何建立实际问题的目标函数．

教学过程：

一、问题情境

问题1

把长为60cm的铁丝围成矩形，长宽各为多少时面积最大? 问题2

把长为100cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？

问题3

做一个容积为256L的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？

二、新课引入

导数在实际生活中有着广泛的应用，利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题．

1．几何方面的应用（面积和体积等的最值）．

2．物理方面的应用（功和功率等最值）．

3．经济学方面的应用（利润方面最值）．

三、知识应用

例1

在边长为60

cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

60

x

x

说明1

解应用题一般有四个要点步骤：设－列－解－答．

说明2

用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极

值及端点值比较即可．

例2

圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才

能使所用的材料最省？

变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

说明1

这种在定义域内仅有一个极值的函数称单峰函数

．

说明2

用导数法求单峰函数最值，可以对一般的求法加以简化，其步骤为：

S1

列：列出函数关系式；

S2

求：求函数的导数；

S3

述：说明函数在定义域内仅有一个极大（小）值，从而断定为函数的最

大（小）值，必要时作答．

例3

在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为．外电阻R为

多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？

说明

求最值要注意验证等号成立的条件，也就是说取得这样的值时对应的

自变量必须有解．

例4

强度分别为a,b的两个光源A,B，它们间的距离为d，试问：在连接

这两个光源的线段AB上，何处照度最小？试就a8,b1,d3时回答上述问题．（照度与光的强度成正比，与光源的距离的平方成反比）

例5

在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)；出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)；R(x)C(x)称为利润函数，记为P(x)．

（1）设C(x)106x30.003x25x1000C'(x)最低？

，生产多少单位产品时，边际成本（2）设C(x)50x10000，产品的单价p1000.1x，怎样的定价可使利润最大？

变式

已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p1与产量q的函数关系式为p25q．求产量q为何值时，利润L最大？

8分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．

四、课堂练习

1．将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___．

2．在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为

时，它的面积最大．

3．有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少？

4．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l＝AB＋BC＋CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b．

五、回顾反思

（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．

（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．

（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单

．

六、课外作业

1．课本第96页第1，2，3，4题．

2．补充练习：

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：Cxk0x10，若不建隔热层，每年能源消耗费3x5用为8万元．设fx为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及fx的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用fx达到最小，并求最小值．