习题3.1优秀教案内容

§8.6 空间向量及其运算习题课

教学目标：（1）熟记向量的坐标公式，梳理知识点，加强理解。

（2） 运用知识点熟练解题，

教学重点，难点

（1)

熟练空间向量公式的变形，并选择适当的形式解题。

教学过程

知识点梳理

1．空间向量的有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有

大小

和

方向

的量叫做空间向量．

(2)相等向量：方向

相同

且模

相等

的向量．

(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相

平行或重合

的向量．

(4)共面向量：平行与同一个平面

的向量．

2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理

(1)共线向量定理

对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是__存在实数λ，使得a＝λb___. 推论

如图所示，点P在l上的充要条件是：

OPOAta ①其中a叫做直线l的方向向量，t∈R，

在l上取AB=a,则

①可化为OPOAtOB或OP(1t)OAtOB

(2)共面向量定理的向量表达式：p=_xa+yb_______，其中x，y∈R，a、b为不共线向量，推论的表达式为MPxMNyMB或对空间任意一点O，有(3)空间向量基本定理

OPOAxAByAC或OPxOAyOBzOC，其中x+y+z= 1 ．

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝ xa+yb+zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角

→→已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0π≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b垂直 ，记作a⊥b. 2②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，|a||b|cos〈a，b〉则叫做向量a，b的数量积，记作a·b，

即_a·b=|a||b|cos〈a，b〉_______．

(2)空间向量数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝λ（a·b）； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及应用

(1)数量积的坐标运算

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝a1b1a2b2a3b3

(2)共线与垂直的坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

则a∥b⇔a＝λb⇔a1=λb1 ，a2=λb2，a3=λb3 (λ∈R)，

a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)．

(3)模、夹角和距离公式

22设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝a·a＝a21＋a2＋a3，

a·ba1b1＋a2b2＋a3b3cos〈a，b〉＝＝2 . 22222|a||b|a1＋a2＋a3·b1＋b2＋b3设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， dAB＝AB=[难点正本

疑点清源] 1 (1)定义式：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，或cos〈a，b〉＝a·b，用于求两个向量的数量积或夹角；

|a||b|a2a1)2(b2b1)2(c2c1)2

(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，用于证明两个向量的垂直关系；

(3)|a|2＝a·a，用于求距离等等．

2．如(1)判断线线平行或诸点共线，可以转化为证a∥b (b≠0)⇔a＝λb；

(2)证明线线垂直，转化为证a⊥b⇔a·b＝0，若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则转化为计算x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；

(3)在立体几何中求线段的长度问题时，转化为a·a＝|a|2，或利用空间两点间的距离公式；

(4)在计算异面直线所成的角(或线面角、二面角)时，转化为求向量的夹角，即利用公式cos θ＝→a·b即可．

|a||b|→→例1.在空间四边形ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为P、Q，则PQ＝__________.

解析

如图

→→→→∴PQ＝3a＋3b－5c. 例2

已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2)C(-3,0,4),设

→→→→→→→→→→→PQ＝PC＋CD＋DQ PQ＝PA＋AB＋ ∴2PQ＝(PC＋PA)＋(DQ＋BQ)＋CD＋AB＝0＋0＋a－2c＋5a＋6b－8c＝6a＋6b－10c

a＝AB,b＝AC，

(1)︱c

︱=3，且c∥BC,求向量c；

(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；

(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值；

思维启迪：本题考查空间向量坐标运算法则的应用，根据a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2，|a|＝

x1yz1等来求解该题，这是需要熟练掌握的知识点，因为这是利用向量解决立体几何的基础. 2212解

（1）∵c∥BC，BC＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，∴c= mBC＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m),所以|c|＝(－m)＋(－m)＋m＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2). (2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，

∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，, 

又|a|＝＋＋0＝2，|b|＝

)＋0＋a·b1＝5，∴cos〈a，b〉＝＝＝－a|b|1010, 10即向量a与向量b的夹角的余弦值为－10. 10(3)

方法一

∵ka＋b＝(k－1，k，2),ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直，∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－方法二

由(2)知|a|＝2，|b|＝＝－5. 255，∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－. 2222225，a·b＝－1，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝ka－ka·b－2b,＝2k＋k－10＝0，得k＝2或k例3．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．

解析

AB＝(3,4,5)，AC9，14，161，2，2AD9，14，16），

ADxAByAC

（3x＋y，4x＋2y，5x＋2yx2,∴从而A、B、C、D四点共面. y3,