探究与发现 为什么截口曲线是椭圆板书设计

教

学

设

计

学科：数学

姓名：刘冉

教

学

设

计

第二章圆锥曲线与方程Ⅰ 第 1 课时 授课时间 2016 年 11 月 16 日

课题

2.2.1椭圆及其标准方程

知识与技能：掌握椭圆的定义；体会椭圆标准方程的推导过程并掌握其标准方程；运用椭圆的标准方程形式解决有关问题。

教

学

过程与方法：培养学生的合作探究能力

；通过小组讨论、培养学生的积极参与目

及协调合作能力。

标

情感态度与价值观：通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感；培养学生团结协作精神。

重点

椭圆的定义及其椭圆的标准方程的两种形式。

难点

椭圆标准方程的建立和推导。

教学学生：细绳、硬纸板、图钉

准备

教师：椭圆模型

教

学

过

程

教学环节

设置情

景

引出课

题

教师活动

学生活动

设计意图

借多媒体形成生动的直观图象，通过图片、实物，吸引学生的注意力，提高参与程度，为后续学习做好准备。

提出问题，引出课题，顺理成章

多媒体视频播放卫星运行的

轨迹图。

举例说出生活中的

椭圆在我们的生活中也是随椭圆

处可见。

提出问题：如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？数学中又是怎样给椭圆下定义？

教师引导学生做实验。

动画演示椭圆的形成：

P

实验

F1F2探究

构建

新

知

问：在椭圆形成过程中，哪些量是固定的、哪些量是不变的？哪些量是变化的？

问：根据作图过程和对椭圆量的分析，如何如何给椭圆下定义？

以活动为载体，学生经

历知识的形成过程，积

[学生讨论、作答] 累感性经验。并给学生

自主探索的机会，让他们通过观察、讨论、概括出椭圆定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维、概括能力。

小组讨论定义形

成

归纳，形成概念

定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。

学生继续分组讨论，请出代表回答讨论定点F1、F2称为椭圆的焦点。

F1、F2间的距离|F1F2|称为焦距。

的结果

对椭圆定义的再认识：为什

么常数要大于F1F2？当常数小于或等于F1F2，会出现什么情况呢?

方程推导学会建

系

通过椭圆定义归纳椭圆的对称性和封闭性。

椭圆的标准方程的推导

（1）如何选P取坐标系？

方案1：

FF以定点所在

直线为x轴，

其垂直平分

线为y轴。

y 方案2：以两定点的连线为y轴，其垂直平分线为x轴

x

推导方程

12

在给出定义后，通过设问让学生加深对椭圆定义中的关键词汇的理解，进一步强化椭圆定义，真正使学生理解定义的内涵和外延。

总结归纳椭圆两个性质，为建立椭圆标准方程做准备。

学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。

（由于学生基础问题，建系方法由老师直接给出；并说明）

让学生参与到问题的解答中，体验方程推导的全过程，数形结合思想，用代数方法解决几何问题的思想和方法，起到真正掌握这一方法的目的。

复习无理方程的化简，老师演示化简过程来突破难点。

F2PF1y PF1F2x 以过F,F的直线为x轴，线段FF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系。

设P(x,y)是椭圆上任意一点，椭1212圆的焦距F1F2为2c（c10）、正2常数为2a，则F(c,0)、F(c,0)

根据椭圆的定义可得：PF1PF22a即：

(xc)2y2(xc)2y22a问：怎样去根号？

学生自己在草稿纸上和老师一同完成推导过程

1

化简得

aac

设acb(ac0)，

学生思考，问题由ab的几何意义是什么？

老师来回答

方程简化为：

xy1(ab0)

ab可以证明它就是椭圆的方

程，我们称它为椭圆的标准方程。

y

若以方案2建

立坐标系，则椭x 圆的焦点在y学生自己写出F,F轴上。

的坐标，以及列出方x(yc)x(yc)2a程，推导出与上面类

似的结果

yx

1 椭圆的标准方程为：ab

(ab0)

两种类型的椭圆方程的比较：

xy

1(ab0) 焦点在x：

abF(c,0),F(c,0)

让学生讨论，归纳出yx1(ab0) 焦点在y：这两种形式的标准ab方程有何异同

F(0,c),F(0,c)

标准方程

x2y2222222222222F2P

体现数形结合的思想

体现对称的思想及数学的美感

学生运用类比的方法，参照上面方法推导焦点在yF112轴的椭圆的标22222222222212222212相同点

图形

焦点坐标

定义

相同点

a,b,c的准方程。反馈学生的掌握情况，并以此训练学生的运算能力，活学活用能力。

学生此时已没有困难，能够动手完成。让学生体会成功喜悦，也起到激发学生学习数学的兴趣的作用。

通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方程的理解。也是对学生观察、归纳能力的训练。

关系

焦点位置判断

初步应用强化理

解

1

2591

椭圆上一点P到一

个焦点的距离为5，则P到另一个

焦点的距离为（ ）

A.5 B.6 C.4 D.10 （学生口答完成）

xy1的焦点坐标是

2.椭圆25169

（ ）

A.(±5，0) B.(0，5) C.(0，±12) D.(±12，0)

3.判断下列椭圆的焦点在哪个轴（学生独立完成，一上，并写出焦点坐标和焦距。

生在黑板上板演）

xy1 （1）

43

y1

（2）x

4试作后显4.写出适合条件的椭圆的标准方学生讨论、示解答过程

程：

（1）两个焦点坐标分别是

(-4,0)、（4，0），椭圆上一点Px2y2222222

从基础入手，让学生掌握好基础知识。即掌握椭圆的定义及两种类型的椭圆方程的异同和根据标准方程判断焦点位置的方法（看大小）。

通过此例的两个小题，让学生明白，在给出椭圆标准方程时，首先要判断焦点所的位置，也是待定系数法的运用，对标准方程中a,b,c的关系的掌握。

通过训练来强化概念，开拓学生的思维，训练学生思维的严谨性。深化知识点的掌握，突出重点、难点

。

到两焦点的距离之和等于10；

(2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；

一个概念：椭圆定义

二个方程：

x2bab归纳a

小结

二个方法：

去根号的方法，判断焦点位置

三个意识：求美,求简,猜想意识

1．教材P49

（1）习题2.1 A组

第1，2题 （2）推导焦点在y轴上的椭圆的方程

布置2.思考：方

程

作业

什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在ｘ轴上的椭圆？什么时候表示焦点在ｙ轴上的椭圆？

22y21 y22x221 ab0

通过小结，使学生理清这节课的重难点，深化对基本概念，基本理论的理解，同时培养学生宏观掌握知识的能力，为进一步学习打下坚实的基础。

体现分层教学的思想，提高学生的学习积极性，使各层次的学生都找到各自的学习区，进一步完善教学目标的实现。

§2.2.1椭圆及其标准方程

一、椭圆的定义：

平面内与两个定点F、F的距离的和等于常数（大于12F1F2）

板

书

设

计

的点的轨迹叫做椭圆。（封闭性、对称性）

二、椭圆的标准标准方程： 焦点在x轴：xa22yb221(ab0)

焦点在y轴：【关系】c22ya22xb221(ab0)

ab2