习题2.3教学设计(第二课时)

《2.3.1 双曲线及其标准方程》教学设计

宁夏吴忠市吴忠中学

宋季霞

一、教学内容解析

(一)课标要求：

《双曲线及其标准方程》是人教A版普通高中课程选修2-1第二章的第三节内容. 课程标准对本节内容的要求是：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.

(二)教材地位

双曲线与科研、生产以及人类生活有着密切的关系，因此，研究它的几何特征及其性质有着极其现实的意义。学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步巩固、深化和提高.如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章.所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质以及进一步学习抛物线，解决更复杂的解析几何综合问题奠定良好的基础.

教学重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程. 突出重点的手段：通过画图揭示出双曲线上的点所满足的条件，再通过讨论归纳得出双曲线的定义；对于双曲线的方程，可类比椭圆方程的推导得出方程并加以比较，加深认识. 二、教学目标设置

依据教材的地位与作用，以及新课改对教学目标的要求，确定本节课的教学目标为：

1、理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；

2、通过定义及标准方程的挖掘与探究

，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；

3、通过教师指导下的学生交流探索活动，让学生体会数学的理性和严谨，培养学生实事求是和锲而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度. 三、学生学情分析

授课班级为宁夏吴忠市吴忠中学高二年级学生。

从知识方面来说，学生从必修“平面解析几何初步”到选修“圆锥曲线”，已经学习直线、圆和椭圆，较为系统地研究了他们的性质，对解析几何的基本思想方法有了一定的

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认识，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，并对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会. 从能力方面来说，作为高二年级的学生，其学习能力与理性思维都达到了一定的水平.具备一定的计算、推理、知识迁移、归纳概括和分析问题、解决问题的能力等能力，并对数形结合、类比等思想方法有了一定的感悟. 教学难点：双曲线定义的得出和标准方程的建立. 突破难点的策略：始终以“类比”作为主线，引导学生动手实验、观察、交流、归纳定义；回顾坐标法求椭圆方程的步骤，亲自体验建立双曲线标准方程的过程. 四、教学策略分析

著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现.”双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课采用了“启发探究”、“类比教学”的教学方式，重点突出以下两点：

1、以类比思维作为教学的主线

2、以自主探究作为学生的学习方式

授之以“鱼”不如授之以“渔”，教师只是课堂教学的引导者、启发者，在新课程改革理念的指导下，要注重突出学生的主体作用.因此，在学习方法的制定上，将充分发挥学生在学习活动中的作用，通过学生主动探索、动手实践调动学生学习的积极性，转变学生的学习方式，形成理性、严谨的解决问题的态度. 五、教学过程设计

（一）回顾旧知，实验探索

师：前面我们学习了椭圆，回顾一下，椭圆是如何定义的？

（请一位同学回答.）

生：平面内与两个定点F1 、F2. 的距离的和等于常数2a（2a >| F1 F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆．

师：若将椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”.即平面内与两个定点F1,F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹是什么? 学生表示不知道. 师：我们不妨通过画图来探究. 教师借助于拉链来说明作图方法.（如图）

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师：取一条拉链，拉开它的一部分，在拉链拉开的两边上各选择一点，分别固定在纸板上的点F1 ，F2处，取拉头处为M点，由于拉链两段是等长的，则MF1MF2FF2，把笔尖放在点M处，随着拉链的拉开或闭拢，M点到F1 ，F2的距离的差为常数.这样的动点M的轨迹是什么呢？

【学生活动】请一位同学上黑板演示(用两段绳子来模拟拉链，进行作图)，其他同学观察、思考. 学生画出一条曲线（如图1）. 教师带领学生分析：这条曲线就是满足下面条件的点的集合：

P={M||MF}

1|-|MF2|=常数师：如果使点M到F2的距离减去到点F1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线（图2）.这条曲线是满足什么条件的点的集合？

生：P={M||MF2|-|MF}. 1|=常数

图1

图2

师：现在我们知道，平面内到两定点距离的差为常数的点的轨迹是这样的两条曲线. 这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支.它是满足这两个条件

①MF1-MF2=常数②MF2-MF1=常数的点的集合.能不能将这两个条件统一起来呢？

生：用绝对值.即MF1MF2=常数. 师：很好.下面我们借助于几何画板来更直观地感受一下双曲线的形成.

【师生活动】

教师用多媒体演示双曲线的形成,引导学生观察，在点M运动的过程中，

MF1与MF2的差有什么特征？学生不难发现，这个差是一组相反数，即动点M满足

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条件MF1-MF2=常数.再次验证画图结果. 师：双曲线在科研和日常生产生活中应用广泛.(出示双曲线相关图片——冷却塔、立交桥、广州塔、埃菲尔铁塔) 这是继椭圆之后我们要学习的第二种圆锥曲线. （板书课题：2.3.1 双曲线及其标准方程

指明本节课的学习内容.）

【设计意图】通过复习回顾椭圆概念，引出新问题.从学生认知的最近发展区入手，激发学生的求知欲.通过画图让学生直观地感受双曲线的形成，并通过优美图片的展示，渗透数学美的教育，让学生感受数学美的同时体会数学的应用价值. 再次激发学生的学习兴趣. （二）抽象概括，归纳定义

提出问题：刚才我们通过直观演示，观察到动点的轨迹是双曲线.你们能根据刚才画双曲线的过程，类比椭圆的定义，归纳概括出双曲线的定义吗？（出示椭圆图形及定义，引导学生类比.）

学生讨论交流，很快可以得出结果：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F,F叫做双曲线的焦点，两定点12间的距离叫做双曲线的焦距．记为F1F2=2c.

[师生活动]若学生能够得出常数小于F1F2

，继续后续问题，如果学生没有发现，教师需要引导学生观察、分析. 师：我们通常将定义中的常数记为2a,也就是说，双曲线就是点集：P={M|MF1|-|MF2|=2a，02aF1F2}.

【设计意图】本环节在学生经历双曲线形成的基础上，类比椭圆定义，归纳概括双曲线定义，有助于学生对双曲线定义的理解.在这个过程中，培养学生的动手实验能力、归纳概括能力、对比分析能力，体会类比和数形结合思想方法.同时渗透数学美的教育，让学生感受数学美的同时体会数学的应用价值. 再次激发学生的学习兴趣. （三）类比椭圆，建立方程

师：得到了双曲线的定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究. 根据解析几何的基本思想方法，我

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们需要利用坐标法先建立双曲线的方程“定量”的描述，然后通过对双曲线的方程的讨论，来研究其几何性质.

师：坐标法建立椭圆标准方程的步骤有哪些？

[师生活动]请学生回顾坐标法建立椭圆方程的步骤，分析双曲线的几何特征.请一位同学回答.

提出探究内容：你能类比椭圆标准方程的建立过程，建立适当的坐标系，推导双曲线的标准方程吗？

【师生活动】这一环节是本节课的难点，但前面经历了椭圆标准方程的建立过程，学生不会感到太困难，因此本环节放手让学生去尝试，有困难可以互相讨论.教师教师巡视、个别予以点拨指导.绝大多数学生会选择建立焦点在x轴上的双曲线方程. 分析如下：

(1)建系设点:取过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1,F2的垂直平分线为y轴(如图所示)建立直角坐标系,设M(x,y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c>0)，那么F1,F2的坐标分别是F1(-c,0),F2(c,0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值为2a. (2)写动点满足的集合:由定义可知，点M满足集合：

P={M|MF1|-|MF2|=2a}={M|MF1|-|MF2|=2a}

．

(3)列方程（用坐标表示条件）：

|MF1|(xc)2y2

,|MF2|(xc)2y2,得(xc)2y2(xc)2y22a

(4)化简方程:

将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：

(xc)2y24a24a(xc)2y2(xc)2y2,移项整理两边平方可得:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)

x2y2类比椭圆的标准方程的处理方式进行简化,使其简洁美观

，即2221

ac-a（教师待学生得到以上的结论时，请学生展示成果.讲评关键点. 特别强调在方程的形式上可以仿照椭圆的标准方程的处理方式：由双曲线定义2c>2a，

即c>a,设

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x2y2c-a=b(b>0)，代入上式2-22=1，将式子进一步简化,使其简洁、对称，得到方ac-a222x2y2程：2-2=1a>0,b>0. ab（5）验证说明（由教师带领学生分析.）

x2y2师：由推导过程可知，双曲线上任意一点的坐标都满足方程2-2=1a>0,b>0，ab同时，以方程的解为坐标的点到双曲线的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0)的距离之差的绝对值为2a,即以方程的解为坐标的点都在双曲线上.由曲线与方程的关系可知，该方程就是双曲线的方程，我们把它叫做双曲线的标准方程.它表示的双曲线焦点在x轴上，焦点坐标分别为F1(-c,0),F2(c,0)，这里c2a2+b2.（教师板书两种形式的标准方程）

师：你能得到焦点在y轴上的双曲线的标准方程吗？ 生：类比椭圆，只要交换方程中的x和y即可.这样就得到了焦点在y轴上的双曲线y2x2的标准方程, 即为221a0,b0.（教师板书）

ab得到了双曲线的定义和方程.借助于表格进行双曲线再认识.强化概念. 定义

图象

方程

焦点

a、b、c的关系

【设计意图】这一过程由学生自主完成，这样设计使学生完全成了学习的主人，由被动的接受变成主动的获取.通过双曲线标准方程的建立过程，训练学生的运算能力、推理论证能力、探究能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的合作意识和严谨的学习态度，渗透数形结合的数学思想.并感受双曲线方程、图形的对称美，获得成功的喜悦！

（四）初步应用，例题讲析

师：学习了新知识，就要应用，来看习题.

练习：

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（1）已知两定点F1(5,0)F2(5,0)若动点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6，则动点P的轨迹是

（

）

A

双曲线

Ｂ圆

Ｃ射线

Ｄ

线段

（2）已知两定点F1(5,0)F2(5,0)若动点P满足PF1PF26，则动点P的轨迹是（

）

A. 双曲线的右支

B. 双曲线的左支

C. 以F1为顶点的射线

D. 以F2为顶点的射线

例1、已知双曲线两个焦点的坐标为

F1 (-5,0) F2(5,0) ，双曲线上一点P到F1、F2 的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程. 【师生活动】先由学生独2立去做，待大部分同学完成后，由学生叙述，教师板书.例1要强调待定系数法求双曲线方程的步骤：先确定焦点位置，再待定出方程，然后求解方程中的a和b，最后写出所求方程.

例2、求适合下列条件的双曲线的方程

（1)a=4,b=5,焦点在x轴上；

(2)a=3,c=5. 练习是属于概念辨析题，可以进一步理解双曲线的定义.例1主要是运用待定系数法求解双曲线的标准方程.例2在例1的基础上再次强化待定系数法的应用，同时对学生进行分类讨论数学思想的渗透，达到拓展知识、提高能力的目的. 【设计意图】

数学概念是要在运用中得以巩固的，通过例题使学生进一步理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程的求解方法，并在解题过程中渗透数形结合的数学思想.通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对知识的再次深化.

（五）知识总结，形成体系

出示问题：

1.本节课你学到了什么知识？

2.研究双曲线用到了什么思想方法？

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让学生自己进行总结，相互补充，教师点评：

本节课首先通过画图揭示出双曲线上的点所满足的条件，由此归纳概括出双曲线的定义，运用坐标法建立了双曲线的标准方程，在习题中应用待定系数法求双曲线的标准方程.在整个过程中，类比椭圆的定义、图象和标准方程的探究思路来处理双曲线的类似问题.在这一学习过程中也进一步体会了数形结合的思想. 【设计意图】

以问题形式来引导学生自我总结.通过总结使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.同时，通过提炼数学的基本思想方法，提高学生的数学素养. （六）布置作业，巩固提高

必做题:

课本55页

练习2，3题

选做题:

课本61页

习题A 组2题

课外作业：查阅资料：ＧＰＳ中的双曲线导航原理. 【设计意图】

作业设计有梯度，分为必做题和选做题，注重不同层次的学生的认知水平,学生可以根据自己的实际学习情况完成作业，尽量做到让不同层次的学生都能有所收获.课外作业为学生利用双曲线性质解决实际问题做准备，既可以拓展学生的知识，又可以让学生体会到数学在现实中的广泛应用. 板书设计：

2.3.1双曲线及其标准方程

(一) 双曲线的定义

(二) 双曲线的标准方程

探索画图：

（三）例题分析

例1

板书力求重点突出，结构清晰,美观整齐. 六、教学设计说明

1. 本节课以新课程的教学理念为指导，充分体现素质教育的重点：培养学生的创新精神和实践能力.

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2.本节课不仅重视结论，也重视知识的生成过程，整个教学过程注重启发探究、类比教学方式的应用，是研究性教学的一次有益尝试.在教学过程中，教师作为引导者、参与者、合作者，努力引导学生动手、探索、分析，亲身经历知识形成的过程.在整个教学过程中渗透了类比、数形结合等数学思想.

3.在教学过程中通过学生动手实践、自主探索，培养其分析、交流、抽象概括及数学表达的能力. 在建立双曲线的标准方程的过程中，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.

以上就是我对这节课的设计和说明，敬请指正，谢谢!

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