3.1.3 空间向量的数量积运算PPT配套优秀教学设计内容｜教案在线预览

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3.1.3 空间向量的数量积运算教学要求：(1)掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；(2 )掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；(3)掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题. 教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．教学难点：向量运算在几何证明与计算中

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所属课文：3.1.3 空间向量的数量积运算

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3.1.3 空间向量的数量积运算PPT配套优秀教学设计内容

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3.1.3 空间向量的数量积运算

教学要求：(1)掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

(2 )掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；

(3)掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题. 教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．

教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．

教学过程：

一、复习引入

1.复***面向量数量积定义：

2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.

二、新课讲授

1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a,b＞．

说明：⑴规定：0＜a，b＞．

当＜a、b＞＝０时，a与b同向；

当＜a、b＞＝π时，a与b反向；

当＜a、b＞＝2时，称a与b垂直，记a⊥b．

⑵

两个向量的夹角唯一确定且＜a,b＞＝＜b,a＞．

⑶

注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．

②＜a,b＞(a,b) 2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，即

a·b＝|a||b|cos＜a,b＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝０；

⑵符号“·

”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 几何意义：已知向量AB＝a和轴l，e是l上和l同方向的单位向量．作点A在l上的射影A′，点B在l上的射影B′，则A'B'叫做向量AB在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影．可以证明：A'B'＝｜AB｜cos＜a,e＞＝a·e．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a·e的几何意义．

3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；

⑵a⊥ba·b＝０

⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜；

当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜.

特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝aaa2. ab

⑷cos＜a,b＞＝;

⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜.

ab4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：

⑴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (数乘结合律)；

⑵

a·b＝b·a (交换律)；

⑶a·(b＋c)＝a·b＋a·c

(分配律) 说明：⑴(a·b)c≠a（b·с）；⑵有如下常用性质：a2＝｜a｜2，(a＋b)2＝a2＋２a·b＋b2

5．例题1

课本P98第5题（1）

目的：掌握用空间向量数量积的性质（4）求异面直线所成的角的计算。

巩固练习P92

例题2

课本P95第3题

目的：掌握用空间向量数量积的性质（3）求长度

巩固练习P92

1 6.方法总结

向量法求异面直线所成角时应注意：

（1）

当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，那么这个锐角或直角就是该异

面直线所成的角。

（2）

当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，那么这个钝角的补角才是异面直线所成的角。

作业:P98

4, 10

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