习题3.2教学设计一等奖

立体几何中的向量方法

一、课前准备 复习：已知a·b=1，|a|=1,|b|=2,且m=2a+b,求|m|. 复习 2：

什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？

二、新课导学 ※

学习探究 探究任务一：用向量求空间线段的长度 问题：如何用向量方法求空间线段的长度？ 自学提纲：

新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式___________求出线段长度. 试

试

：

在

长

方

体 ABCD- A'B'C'D ' 中

，

已

知AB=1,BC =2,CC’= 1 ,求 AC’

的长.

反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示. ※

典型例题 例 1 如图，一个结晶体的形

状为平行六面体，其中，以

顶点 A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？

变式 1：上题中平行六面体的对角线 BD1的长与棱长有什么关系？

变式 2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于a , 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?

探究任务二：用向量求空间图形中的角度 例 2 如图，甲站在水库底面上的点 A 处，乙站在水坝斜面上的点 B 处.从 A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC, BD分别为a, b，CD 的长为c，AB的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.

变式：如图，60的二面角的棱上有A, B 两点，直线AC, BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB , 已知 AB= 4,AC =6,BD = 8 ,求CD的长.

※

自学检测：

练 1. 如图，

已知线段AB在平面α内，

线段ACα，线段BDAB,线段DD’α，DBD‘=30，如果AB=a,AC=BD=b,求C、D间的距离。

练2. 如图，M、N 分别是棱长为1的正方体ABCD- A'B'C'D '的棱 BB '、B'C ' 的中点．求异面直线 MN 与 CD ' 所成的角.

三、总结提升 ※

学习小结 1. 求出空间线段的长度：

用空间向量表示空间线段，然后利用公式

； 2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为利用公式求解. ※

知识拓展 解空间图形问题时,可以分为三步完成: （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. 课后作业 如图，正方体 ABCD- A'B'C'D ' 的棱长为1，M, N分别是 BB‘, B’C‘

的中点，求：

⑴ MN, CD’

所成角的大小；

⑵ MN, AD 所成角的大小；

⑶ AN 的长度.

《立体几何中的向量方法（2）》分层次练习

一、基本练习题（B、C层学生合理掌握，检查A层学生掌握情况）

二、提高练习题（C层同学合理掌握，A层同学试做，检查B层同学掌握情况）

3.若M、N分别是棱长为1的

正

方

体ABCD- A'B'C'D '的棱AB',BB’的中点,那么直线AM, CN 所成的角的余弦为（ ）

4.将锐角为60边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60的二面角，则AC, BD间的距离是（ ）

三、探索性练习题（C层同学掌握，B层同学试做）

5. 正方体ABCD- A'B'C'D '中棱长为a，AM1AC'' N 是|BB‘| 的中点，则MN为（ ）

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