3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计内容推荐

3.1.1倾斜角与斜率

一．教学目标

知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；通过直线倾斜角概念的学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力. 过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程. 情感态度与价值观：通过斜率概念的建立和斜率公示的推导，初步体会“数形结合”思想；培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 二．教学重难点

重点：1、初步培养学生的数形结合的思想；

2、直线的倾斜角和斜率的概念；

3、过两点的直线的斜率公式；

难点：过两点的直线的斜率公式的导出。

三．教学过程

直线的倾斜角

导入思考：（以一根棍子作为直线的模型进行比划），如果要将这根棍子固定在黑板上至少要几颗钉子？再设想如果一颗钉子，位置固定吗？我们把刚刚的问题转化为数学问题，在直角坐标系中，两点可以确定一条直线；过平面内一点，可以

做无数条直线。y

l

o

x

问题：（1）在平面直角坐标系中经过一点P的直线l的位置能确定么？

（2）这些直线有什么不同？

显然不能，因为这些直线的区别在于直线的倾斜程度不一样。为了表示直线的倾斜程度，引入倾斜角这个几何概念。

1.直线倾斜角的定义： 当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00. 由此，我们得出直线的倾斜角的取值范围为：0180。倾斜角就是表示直线倾斜程度的一个几何元素。

练习画出过点P的各种倾斜角的直线。

yoplxyolyopypxlpxolx(1) (2) (3)(4)

学生容易忽略与x轴平行的直线，补出图（4），问倾斜角在哪儿？

分析:1.在倾斜角的定义中，三个条件要注意，首先直线向上的方向，其次横轴的正向，最后小于平角的非负角。

2.从运动学的观点上看，直线与横轴相交时，倾斜角为直线从横轴正半轴出发以交点为旋转中心按逆时针旋转到直线所在位置而成的最小角。

3.倾斜角从“形”的角度直观的体现了直线对横轴正半轴方向上的倾斜程度。

4．平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，所以直线与倾斜角的关系是多对一的关系。

5.确定平面内直线位置的几何要素：一个定点和倾斜角。 思考总结：只给定直线的倾斜角，我们得到无数条相互平行的直线,若给定直线上一点和直线的倾斜角，那直线是唯一确定的。由此，我们得出，直线上一定点和直线的倾斜角可以确定平面直角坐标系中一条直线的位置。

直线的斜率

在日常生活中我们描述人走地快慢、汽车行驶地快慢都是用速率来表示的，也就是用路程与时间的比来表示的；我们又如何刻画山坡的倾斜程度呢？

如果我们以前进量所在的直线为x轴，点o为原点建立平面直角坐标系，就是直线的倾斜角，即坡度就是倾升斜角的正切值，也就是说我们可以用倾斜角的正切高值来刻画直线的倾斜程度.这个正切值我们称为直线的

斜率. 前进

斜率的概念：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.倾斜角是900的直线没有斜率.斜率常用k来表示，ktan（900）.

特别地，当90时，直线的斜率不存在。在倾斜角

的取值范围内(0180)，倾斜角的大小与倾斜角的正切值是一一对应的，换句话说，倾斜角的大小与斜率是一一对应的。

进一步得到：直线上一点和直线的斜率同样能确定一条直线。

思考总结：1.一条直线存在唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为直角时不存在。

2．直线的倾角为形，而斜率为数值，两者关系符合正切函数关系。

3.不同的斜率对应不同的倾斜角，因此确定直线的位置由一个定点和斜率即可。

本节课的核心内容：由直线上两点的坐标计算直线的斜率

(2)180

（1）

 ktantan

Ktan180tan

在RtPPQ中，

12

tanQP2PQ1y2y1

x2x1在RtPPQ中，

12tanQP2QP1yy k21

x2x1y2y1

x1x2y2y1y2y1

x1x2x2x1y2y1（2）当P成立，举一反三，这点请同学们课后自1,P2的位置变化时，kx2x1ktan己验证。

由此我们得到斜率公式：k我们看一个特例，

（3）当0时，

ktan00，

这一点我们也可以由斜率公式得到。

当0时，直线和x轴平行或重合，此时y2y1。

ky2y100，同样符合公式。

x2x1x2x1y2y1 x2x1(x,y1)，P2(x2,y2)的直线的斜率公式为：

经过两点P11

ky2y1(xx2)

x2x11思考总结：1.横坐标相等时，公式无意义，但倾斜角存在，所以适用范围要注意，要首先讨论斜率存在与否。

2.公式的求值与两点的位置无关，所以可以任取两点坐标，或间接求知也可以。

3.两点的坐标位置调换不影响所求值。

4.直线平行于横轴时分子为零，特殊情况需要注意。

例1、已知A3,2,B4,1,C0,1，求直线AB,BC,CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

把点的坐标代入斜率公式即可求得相应直线的斜率，比较简单，不用多讲解。

（问）由kAB>0,得到直线AB的倾斜角为锐角，由kBC0，得到直线BC的倾斜角为钝角的结论同学们清楚吗？ 由正切函数的图象：

可以看出，当斜率大于0时，即倾斜角的正切值大于0时，倾斜角0,90，

当斜率小于0时，即倾斜角的正切值小于0时，倾斜角90,180

例2、画过点A（-1,2），斜率为-3的直线。

分析：两点确定一条直线，还有一点如何找?不妨设Bx1,y1是直线上一点，我们运用斜率公式得到一个关于x1,y1的二元一次方程，给定x1的值解出y1的值，由此得到点B的坐标。

解：设Bx1,y1是直线上一点，根据斜率公式有

y113 即y13x15 令x12,则y11

x12点B的坐标为2,1

直线上两点确定了，就可以画出这条直线。