复习参考题优秀教学设计内容

教案

课题：

立体几何垂直证明

1．直线与平面垂直

图形

如果平面外的一条直线和平面内的任意一

判定

条直线垂直，则这条直线垂直于这个平面

如果平面外的一条直线和平面内的两条相交直线垂直，则这条直线垂直于这个平面

如果两条平行直线中的一条垂直于一个平

面，则另外一条垂直于这个平面

如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直性质

于这个平面中的任意一条直线

如果两条直线垂直于同一个平面，则这两

2．两个平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)平面与平面垂直

文字语言

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

性质

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

图形语言

条件

结论

α⊥β

条直线平行

a⊥α，b⊥α

a∥b

a⊥α，b⊂α

a⊥b

a∥b，a⊥α

b⊥α

条件

a⊥b，b⊂α(b为α内的任意直线) a⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O

结论

a⊥α

a⊥α

判定

l⊂β

l⊥α

l⊥α

方法与技巧

1．三类论证

(1)证明线线垂直的方法

①定义：两条直线所成的角为90°；

②平面几何中证明线线垂直的方法；

③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b. (2)证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；

②判定定理1：

m、n⊂α，m∩n＝A⇒l⊥α；

l⊥m，l⊥n③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

④面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；

⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. (3)证明面面垂直的方法

①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

②判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. 2．转化思想：垂直关系的转化

1．（2017全国卷3）

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCＥ与四面体ACDE的体积比．

o

试题解析：（1）设AC的中点为O，连接DO,BO，因为AD=CD，则DO⊥AC,

因为△ABC是正三角形，则BO⊥AC, 则AC⊥平面DOB, 则AC⊥BD.

2．（2017卷1）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC,APD90,且四棱锥P-ABCD的体积为8，求该四棱锥的侧面积. 3

试题解析：（1）由已知∠BAP∠CDP90，得ABAP，CDPD．

由于AB∥CD，故ABPD，从而AB平面PAD．

又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD

3.(2014·重庆) π如图，四棱锥P－ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC31上一点，且BM＝. 2(1)证明：BC⊥平面POM；

(2)若MP⊥AP，求四棱锥P－ABMO的体积．

(1)证明

如图，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，连结πOB，则AO⊥OB.因为∠BAD＝，故OB＝1. 31π又因为BM＝，且∠OBM＝，在△OBM中，

23OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM

11π3＝12＋()2－2·1··cos＝. 2234所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM. 又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC. 从而BC与平面POM内两条相交直线OM，PO都垂直，

所以BC⊥平面POM. 练习：

1.（2015卷1）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE平面ABCD，

（I）证明：平面AEC平面BED；

（II）若ABC120，AEEC,

三棱锥EACD的体积为6，求该三棱锥的侧面积. 3

2.（2013全国卷1）

如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160。

CC1BAA1B1

（Ⅰ）证明：ABAC；

1（Ⅱ）若ABCB2，AC1B1C1的体积。

16，求三棱柱ABCA

3. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45. (1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；

(2)求四棱锥P—ABCD的体积．